Perché i modelli di effetti casuali richiedono che gli effetti non siano correlati con le variabili di input, mentre i modelli di effetti fissi consentono la correlazione?

Da Wikipedia

Esistono due ipotesi comuni sull'effetto specifico individuale, l'assunzione di effetti casuali e l'assunzione di effetti fissi. Il presupposto degli effetti casuali (realizzato in un modello di effetti casuali) è che gli effetti specifici individuali non sono correlati con le variabili indipendenti. Il presupposto dell'effetto fisso è che l'effetto specifico individuale è correlato con le variabili indipendenti. Se il presupposto degli effetti casuali è valido, il modello degli effetti casuali è più efficiente del modello degli effetti fissi. Tuttavia, se questa ipotesi non regge (ovvero, se il test di Durbin – Watson fallisce), il modello degli effetti casuali non è coerente.

Mi chiedevo perché i modelli di effetti casuali richiedessero che gli effetti casuali non fossero correlati con le variabili di input, mentre i modelli di effetti fissi permettessero che gli effetti fossero correlati con la variabile di input?

Grazie!

Quando si include una variabile in una regressione, il suo coefficiente viene stimato tenendo fisse tutte le altre variabili nel modello. Se la variabile è correlata con un'altra variabile che non è inclusa nel modello, il suo coefficiente non può essere stimato mantenendo tale costante omessa. Questo porta a distorsioni delle variabili omesse.

L'approccio con effetti fissi aggiunge variabili al modello che rappresenta gli individui o i gruppi di interesse. Di conseguenza, gli altri coefficienti nel modello possono essere calcolati tenendo fisso l'individuo o il gruppo. Questo è noto come lo stimatore interno (individuale o di gruppo).

L'approccio con effetti casuali non aggiunge variabili al modello che rappresenta gli individui o i gruppi. Invece, modella la struttura delle correlazioni dei termini di errore. In sostanza, l'effetto casuale è visto come uno spostamento parallelo non stimato nella linea di regressione e questo stesso spostamento si applica a tutte le osservazioni per un particolare individuo o gruppo. Ciò porta a correlare tutto ciò all'interno delle osservazioni individuali o di gruppo. Gli effetti casuali modellano questa correlazione.

Il modello di effetti casuali sostanzialmente omette l'effetto fisso e supera l'omissione modellando la struttura dell'errore. Questo va bene fino a quando l'effetto fisso omesso non è correlato con nessuna variabile inclusa. Come discusso in precedenza, tali variabili omesse portano a stime dei coefficienti distorte.

Il vantaggio di escludere gli effetti fissi, come fa la procedura degli effetti casuali, è che le variabili che non variano all'interno delle osservazioni di un individuo o di un gruppo non possono essere incluse con effetti fissi a causa della multicolinearità; gli effetti casuali sono l'unico modo per stimare i coefficienti per tali variabili.

Da quello che so, gli effetti casuali sono una sorta di estensione di un modello OLS, in cui la costante è inclusa nel vettore dei regressori e l'errore è composto sia da un effetto non osservato (invariante nel tempo), sia da un errore osservato ( variante temporale).

Non so molto bene come rispondere alla tua domanda, ma direi semplicemente che i modelli RE richiedono che l'errore non sia correlato con le variabili indipendenti perché, se sono correlati, significa che sei nel caso in cui le stime FE siano più appropriato. È possibile verificare quale di essi interpreta meglio il set di dati eseguendo un test di Hausman dopo aver eseguito la regressione con entrambe le specifiche.

Questo è tratto dall'analisi econometrica dei dati di sezioni trasversali e panel, di Wooldridge:

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