Cosa significa "design" nella matrice del design?

Nella regressione lineare, $Y= X\beta$ , perché è $X$chiamata matrice di progettazione? può $X$essere progettato o costruito arbitrariamente in una certa misura come nell'arte?

Per fare un esempio in linea con la risposta di @ neverKnowsBest, considera che in un esperimento fattoriale ci sono 3 fattori, ciascuno trattato come variabili categoriali con 2 livelli e ogni possibile combinazione dei livelli dei fattori viene testata all'interno di ogni replica. Se l'esperimento fosse amministrato una sola volta (nessuna replica) questo progetto richiederebbe 2 3 = 8 corse. Le esecuzioni possono essere descritte dalla seguente matrice 8x3: [ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 $2^3$$2^3=8$

$$\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ dove le righe rappresentano le corse e le colonne rappresentano i livelli dei fattori: (La prima colonna rappresenta il livello del fattore A, la seconda colonna B e la terza colonna C). Questo è indicato come $$\left[\begin{array}{rr} A & B & C \\ \end{array} \right].$$ Design Matrix perché descrive il design dell'esperimento. La prima corsa viene raccolta al livello "basso" di tutti i fattori, la seconda corsa viene raccolta al livello "alto" del fattore A e ai livelli "bassi" dei fattori B e C e così via.

$$\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} I & A & B & C & AB & AC & BC & ABC \\ \end{array} \right].$$

citazioni

Montgomery, D. (2009). Design and Analysis of Experiments, 7a edizione. John Wiley & Sons Inc.

$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

La progettazione di esperimenti si concentra su come costruire la matrice di progettazione e la matrice del modello poiché ciò accade prima che i dati vengano raccolti. Se i dati sono già raccolti, il disegno è impostato su pietra ma è comunque possibile modificare la matrice del modello. A volte un esperimento progettato avrà nella matrice di progettazione alcune colonne fisse chiamate covariate che non possono controllare ma è possibile osservare.

A seconda della scelta del modello e del design, possono accadere alcune cose ... alcuni parametri possono diventare difficili da stimare (varianze maggiori dello stimatore) o potresti non essere in grado di stimare determinati parametri. Direi che decidere su un modello appropriato ha alcuni elementi artistici, e c'è sicuramente un'arte nel progettare esperimenti.

$X$$X$$X$$\beta$

$X$ sono solo i tuoi dati (meno la variabile di risposta). Credo che sia indicato come la matrice del design perché definisce il "design" del tuo modello (tramite formazione).

X può essere progettato o costruito arbitrariamente in una certa misura come nell'arte?

Fondamentalmente questa domanda si riduce a "puoi costruire un modello addestrato sui dati fabbricati" a cui la risposta è ovviamente sì. Ad esempio, ecco un modo per costruire una matrice di progettazione arbitraria (vettore di progettazione, in realtà) che fornirà un modello con una pendenza e un'intercetta predefinite:

design_mat=function(b, a){
  X = runif(100)
  Y = a*X + b
  data.frame(X,Y)
}

df = design_mat(-5, 12.3)

(lm(Y~X, data=df))

Call:
lm(formula = Y ~ X, data = df)

Coefficients:
(Intercept)            X  
       -5.0         12.3  

$X = \frac{Y-b}{a}$