Correlazioni ottenibili per variabili casuali esponenziali

Qual è la gamma di correlazioni ottenibili per la coppia di variabili casuali distribuite esponenzialmente e , dove sono i parametri di tasso? $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$ $X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$ $\lambda_1, \lambda_2 > 0$

correlation exponential

— QuantIbex
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— QuantIbex,

Consentiamo a (resp. ) di indicare il limite inferiore (rispettivamente superiore) della correlazione raggiungibile tra e . I limiti e vengono raggiunti quando e sono rispettivamente contronotonici e comonotonici (vedi qui ). $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$ $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$

Limite inferiore
Per determinare il limite inferiore costruiamo una coppia di variabili esponenziali contronotoniche e calcoliamo la loro correlazione. $\rho_{\min}$

La condizione necessaria e sufficiente menzionata qui e la trasformazione integrale di probabilità forniscono un modo conveniente per costruire le variabili casuali e modo che siano contronotoniche. Ricorda che la funzione di distribuzione esponenziale è , quindi la funzione quantile è . $X_1$ $X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$ $F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Sia una variabile casuale distribuita uniformemente, quindi anche è uniformemente distribuita e le variabili casuali hanno la distribuzione esponenziale rispettivamente con rate e . Inoltre, sono contronotonici poiché e e le funzioni e sono rispettivamente in aumento e in aumento. $U\sim U(0, 1)$ $1-U$

X_{1} = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - U), and X_{2} = - λ_{2}^{- 1} \log (U)

$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

X_{1} = h_{1} (U)

$X_1 = h_1(U)$

X_{2} = h_{2} (U)

$X_2 = h_2(U)$

h_{1} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - x)

$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$

h_{2} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (x)

$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Ora calcoliamo la correlazione di e . In base alle proprietà della distribuzione esponenziale abbiamo , , e . Inoltre, abbiamo dove $X_1$ $X_2$ ${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$ ${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$ ${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$ ${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) f_{U} (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - \frac{π^{2}}{6}), \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$

f_{U} (u) \equiv 1

$f_U(u) \equiv 1$ è la funzione di densità della distribuzione uniforme standard. Per l'ultima uguaglianza ho fatto affidamento su WolframAlpha .

Pertanto, Nota che il limite inferiore non dipende dalle tariffe e e che la correlazione non raggiunge mai , anche quando entrambi i margini sono uguali (cioè quando ).

\begin{aligned} ρ_{min} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - π^{2} / 6) - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 - π^{2} / 6 \approx - 0.645. \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

- 1

$-1$

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$

Limite superiore
Per determinare il limite superiore seguiamo un approccio simile con una coppia di variabili esponenziali comonotoniche. Ora, lascia e dove e , che sono entrambe funzioni in aumento. Quindi, queste variabili casuali sono comonotoniche ed entrambe sono esponenzialmente distribuite con i tassi e . $\rho_{\max}$ $X_1 = g_1(U)$ $X_2 = g_2(U)$ $g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$ $g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

Abbiamo e quindi, Analogamente al limite inferiore, il limite superiore non dipende dalle tariffe e .

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (1 - U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} {\log (1 - u)}^{2} d u \\ = 2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}, \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$

\begin{aligned} ρ_{max} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

— QuantIbex
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Grazie per i tuoi calcoli. Volevo solo aggiungere che avrebbe potuto essere trovato immediatamente, notando che e sono dello stesso tipo: ha distribuzione , ovvero la stessa distribuzione di .

ρ_{m a x} = 1

$\rho_{max}=1$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

\frac{λ_{1}}{λ_{2}} X_{1}

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}X_1$

E x p (λ_{2})

$Exp(\lambda_2)$

X_{2}

$X_2$

— user48713

(+1). Si noti che il limite superiore è evidente osservando due variabili esponenziali che differiscono solo per un fattore di scala. È altrettanto ovvio che il limite inferiore non può raggiungere quando (poiché altrimenti l'asimmetria sarebbe zero).

- 1

$-1$

λ_{1} \neq λ_{2}

$\lambda_1\ne\lambda_2$

— whuber