Definizione di probabilità condizionale con condizioni multiple

In particolare, supponiamo di avere due eventi, A e B, e alcuni parametri di distribuzione $\theta$ , e mi piacerebbe guardare .$P(A | B,\theta)$

Quindi, la definizione più semplice di probabilità condizionale è, dati alcuni eventi A e B, quindi . Quindi, se ci sono più eventi da condizionare, come ho sopra, potrei dire che o sto guardando in modo totalmente sbagliato? Tendo a prendermi in giro quando ho a che fare con la probabilità a volte, non sono davvero sicuro del perché.$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$P(A | B,\theta) \stackrel{?}{=} \frac{P((A | \theta)\cap(B | \theta))}{P(B|\theta)}$

Puoi fare un piccolo trucco. Let . Adesso puoi scrivere$(B \cap \theta) = C$

Il problema si riduce a quello di una probabilità condizionale con una sola condizione: P ( A | C ) = P ( A ∩ C

$$P(A|B, \theta) = P(A|C).$$ $$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$$

Ora compila nuovamente per C e ce l'hai:$(B \cap \theta)$$C$

$$\frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A \cap (B \cap \theta))}{P(B \cap \theta)}$$

E questo è il risultato che volevi ottenere. Scriviamolo esattamente nella forma che avevi quando avevi inizialmente posto la domanda:

$$P(A|B , \theta) = \frac{ P(A \cap B \cap \theta) }{ P(B \cap \theta) }$$

Quanto alla tua seconda domanda, perché è quella probabilità che ti fa impazzire: è uno dei risultati della ricerca psicologica che gli umani non sono molto bravi nel ragionamento probabilistico ;-). È stato un po 'difficile per me trovare un riferimento a cui posso indicarti. Ma il lavoro di Daniel Kahneman è sicuramente molto importante in questo senso.

Penso che probabilmente lo desideri:

$$\rm{P}(A|B,\theta) = \frac{\rm{P}(A\cap B|\theta)}{\rm{P}(B|\theta)}$$

Trovo spesso confuso pensare a come manipolare le probabilità. Con più condizioni, trovo più facile pensarci in questo modo:

• $\rm{P}(A|B)$$\theta$
• $\rm{P}(A|B) = \rm{P}(A\cap B)/\rm{P}(B)$
• $\theta$$\rm{P}(A|B,\theta) = \rm{P}(A\cap B|\theta)/\rm{P}(B|\theta)$