Asimmetria / curtosi mobile ponderata esponenziale

Esistono formule online ben note per il calcolo delle medie mobili ponderate esponenzialmente e delle deviazioni standard di un processo . Per la media,$(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

e per la varianza

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

da cui è possibile calcolare la deviazione standard.

Esistono formule simili per il calcolo online dei momenti del terzo e del quarto centro ponderati esponenziali? La mia intuizione è che dovrebbero prendere la forma

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

e

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

da cui è possibile calcolare l'asimmetria e la curtosi ma non sono stato in grado di trovare semplice, chiuso- espressione modulo per le funzioni e .$\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

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Modifica: alcune ulteriori informazioni. La formula di aggiornamento per la varianza mobile è un caso speciale della formula per la covarianza mobile ponderata esponenziale, che può essere calcolata tramite

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

dove e sono i mezzi mobili esponenziali di ed . L'asimmetria tra e è illusorio, e scompare quando si nota che .$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

Formule come questa possono essere calcolate scrivendo il momento centrale come un'aspettativa , dove i pesi nell'aspettativa sono considerati esponenziali e usando il fatto che per qualsiasi funzione abbiamo$E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

È facile derivare le formule di aggiornamento per la media e la varianza usando questa relazione, ma si sta rivelando più complicato per il terzo e il quarto momento centrale.

Le formule sono semplici ma non sono così semplici come intimate nella domanda.

Lasciare che sia l'EWMA precedente e lasciate X = x n , che si presume indipendente Y . Per definizione , la nuova media ponderata è Z = α X + ( 1 - α ) Y per un valore costante α . Per comodità notazionale, impostare β = 1 - α . Sia denota il CDF di una variabile casuale e denota la sua funzione di generazione del momento , in modo che$Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

Con Kendall e Stuart , diamo che denoti il ​​momento non centrale dell'ordine per la variabile casuale ; cioè, . L' asimmetria e la curtosi sono esprimibili in termini di per ; ad esempio, l'asimmetria è definita come dove$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

sono il terzo e il secondo momento centrale, rispettivamente.

In base ai risultati elementari standard,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

Per ottenere i momenti non centrali desiderati, moltiplicare la serie di potenze quest'ultimo attraverso quarto ordine in ed equiparare il risultato termine a termine con i termini .$t$$\phi_Z(t)$

Penso che la seguente formula di aggiornamento funzioni per il terzo momento, anche se sarei felice di avere qualcuno che la controlla:

⋯ - μ n - $M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

La formula di aggiornamento per la curtosi è ancora aperta ...