Esempio di disuguaglianza rigorosa di Neumann

Sia il rischio di Bayes di uno stimatore rispetto a un precedente , sia il set di tutti i priori nello spazio dei parametri , e sia il set di tutte le regole di decisione (eventualmente randomizzate).δ π Π Θ $r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

L'interpretazione statistica della disuguaglianza minimax di John von Neumann afferma che

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

con una rigorosa uguaglianza garantita per alcuni $\delta'$ e $\pi'$ quando $\Theta$ e $\Delta$ sono entrambi finiti.

Qualcuno può fornire un esempio concreto in cui la disuguaglianza è severa?

Un esempio di disuguaglianza di von Neumann rigorosa si verifica quando la funzione di rischio soddisfa le seguenti condizioni per alcuni valori (dove il valore precedente è "basso" e il secondo è "alto"):r 0 < r $r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

La prima condizione afferma che, indipendentemente dal precedente, esiste sempre una regola di decisione con basso rischio , che fornisce . La seconda condizione afferma che, indipendentemente dalla regola di decisione, c'è sempre qualche precedente alto rischio , che dà .sup π ∈ Π inf δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 0 r 1 inf π ∈ Π sup δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r $r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Un altro modo di affermare questa situazione è che non esiste una regola di decisione (scelta prima di vedere la precedente) che garantisca un basso rischio per ogni precedente (a volte avrà un rischio elevato), ma per ogni precedente esiste una regola di decisione (scelta dopo aver visto il precedente) che garantisce un basso rischio. In altre parole, al fine di imporre un limite basso al rischio, dobbiamo adattare la nostra regola di decisione a quella precedente .

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Esempio: un semplice esempio di questo tipo di situazione si verifica quando hai una coppia di priori ammissibili e una coppia di regole di decisione ammissibili con una matrice di rischio come questa:δ 0 , δ $\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

In questo caso non esiste una regola di decisione che garantisca un rischio basso per entrambi i priori, ma per ogni precedente esiste una regola di decisione che presenta un rischio basso. Questa situazione soddisfa le condizioni di cui sopra che danno una forte disuguaglianza nella disuguaglianza di von Neumann.