Quando la funzione di distribuzione binomiale è superiore / inferiore alla sua funzione di distribuzione di Poisson limitante?

Sia denota la funzione di distribuzione binomiale (DF) con i parametri e valutati a : e lasciare che denoti il DF di Poisson con il parametro valutato in : $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

Considera $p \rightarrow 0$ e lascia che $n$ sia definito come $\lceil a/p-d \rceil$ , dove $d$ è una costante dell'ordine di $1$ . Poiché $np \rightarrow a$ , la funzione $B(n,p,r)$ converge in $F(a,r)$ per tutte le $r$ , come è noto.

Con la definizione sopra per $n$ , sono interessato a determinare i valori di $a$ per i quali

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$ e similmente quelli per i quali

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$ Sono stato in grado di dimostrare che la prima disuguaglianza vale per

a

$a$ sufficientemente piccolo di

r

$r$ ; più specificamente, per

a

$a$ inferiore

inferiore) di un certo limite , con

. Allo stesso modo, la seconda disuguaglianza vale per

sufficientemente maggiore di

, cioè per

g (r)

$g(r)$

g (r) < r

$g(r)<r$

a

$a$

r

$r$

a

$a$ maggiore di un certo limite

h (r)

$h(r)$ , con

h (r) > r

$h(r)>r$ . (Le espressioni della limiti

g (r)

$g(r)$ e

h (r)

$h(r)$ sono irrilevanti qui. Mi impegno a fornire i dettagli a chiunque sia interessato.) Tuttavia, i risultati numerici suggeriscono che queste disparità valgono per limiti meno rigorosi, che è, per

a

$a$ più vicino a

r

$r$ quanto posso provare.

Quindi, vorrei sapere se c'è qualche teorema o risultato che stabilisce a quali condizioni ogni disuguaglianza contiene (per tutte le $p$ ); vale a dire quando il DF binomiale è garantito sopra / sotto il suo limite di Poisson DF. Se tale teorema non esiste, qualsiasi idea o puntatore nella giusta direzione sarebbe apprezzato.

Si noti che una domanda simile, formulata in termini di funzioni beta e gamma incomplete, è stata pubblicata in math.stackexchange.com ma non ha ricevuto risposta.

— Luis Mendo
fonte

Questa è una domanda interessante, anche se penso che aiuterebbe a chiarire alcune cose, in particolare quali sono le "parti mobili" e quali no. Sembra che tu voglia un limite che si mantenga uniformemente in per ogni fisso . Ma qual è il ruolo di qui? Non dovrebbe importare molto, ma è necessaria l'introduzione? Un approccio potrebbe essere quello di guardare le cose in termini di tempi di attesa di un processo di Poisson e accoppiarli ai tempi di attesa geometrici associati (prendendo il soffitto di ciascuno) per la vostra variabile casuale binomiale. Ma ciò potrebbe non produrre il limite uniforme che stai cercando.

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— cardinale

@cardinal Grazie per aver dedicato del tempo. Sì, voglio che il limite sia uniforme in p. Tutti gli altri parametri sono fissi (ma selezionabili). è solo uno di questi parametri gratuiti. Ad esempio, un risultato ipotetico potrebbe essere il seguente: "Per qualsiasi naturale maggiore di e qualsiasi , la prima disuguaglianza vale per tutti e per tutti ; e il secondo vale per tutti e per tutti i .

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Luis Mendo,

Esiste una teoria stein chen che stima gli errori quando si utilizza Poisson rv per stimare la somma delle variabili indipendenti non necessarie di bernoulli. Non sei sicuro della tua domanda.

— Lost1

Per finito , la distribuzione binomiale ha chiuso il supporto dall'alto. Le sue dimensioni possono essere selezionabili (scegliendo ) ma sono chiuse. D'altra parte, la distribuzione di Poisson ha un supporto illimitato. Dato che stiamo guardando i CDF, per ogni finito avremo sempre per tutti i valori ammessi di . Quindi le condizioni per la 2a disuguaglianza dopo il PO, includeranno sempre, almeno, "per ..."

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

r < n

$r<n$

— Alecos Papadopoulos,

Vedi la risposta di Did qui: math.stackexchange.com/questions/37018/…

— Alex R.

Per quanto riguarda quanto segue:

la media di una dist binomiale è $np$
la varianza è $np(1-p)$
la media di una dist di Poisson è , che possiamo immaginare come $\lambda$ $n\times p$
la varianza di un Poisson è la stessa della media

Ora, se un Poisson è il limite di un binomio con parametri e , tale che aumenta all'infinito e diminuisce a zero mentre il loro prodotto rimane costante, quindi supponendo che e non siano convergenti ai rispettivi limiti, l'espressione è sempre maggiore di , quindi la varianza di Binomial è inferiore a quella di Poisson. Ciò implicherebbe che il binomio è sotto nelle code e sopra altrove. $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
fonte

Grazie per il tuo contributo. Mi sembra che non riesca a rispondere alla domanda, perché (1) l'OP è interessato al CDF, non al PDF. (2) Chiede una risposta quantitativa.

— whuber