Sia denota la funzione di distribuzione binomiale (DF) con i parametri e valutati a :
e lasciare che denoti il DF di Poisson con il parametro a \ in \ mathbb R ^ + valutato in r \ in \ {0,1,2, \ ldots \} :
\ begin {equation} F (a , r) = e ^ {- a} \ sum_ {i = 0} ^ r \ frac {a ^ i} {i!}. \ end {equation}B(n,p,r)n∈Np∈(0,1)r∈{0,1,…,n}
B(n,p,r)=∑i=0r(ni)pi(1−p)n−i,
F(ν,r)a∈R+r∈{0,1,2,…}F(a,r)=e−a∑i=0raii!.
Considera p→0 e lascia che n sia definito come ⌈a/p−d⌉ , dove d è una costante dell'ordine di 1 . Poiché np→a , la funzione B(n,p,r) converge in F(a,r) per tutte le r , come è noto.
Con la definizione sopra per n , sono interessato a determinare i valori di a per i quali
B(n,p,r)>F(a,r)∀p∈(0,1),
e similmente quelli per i quali
B(n,p,r)<F(a,r)∀p∈(0,1).
Sono stato in grado di dimostrare che la prima disuguaglianza vale per
a sufficientemente piccolo di
r ; più specificamente, per
un ga inferiore
( inferiore) di un certo limite , con
g (r) <r . Allo stesso modo, la seconda disuguaglianza vale per
una sufficientemente maggiore di
r , cioè per
ag(r)g(r)<raramaggiore di un certo limite
h(r) , con
h(r)>r . (Le espressioni della limiti
g(r) e
h(r) sono irrilevanti qui. Mi impegno a fornire i dettagli a chiunque sia interessato.) Tuttavia, i risultati numerici suggeriscono che queste disparità valgono per limiti meno rigorosi, che è, per
a più vicino a
r quanto posso provare.
Quindi, vorrei sapere se c'è qualche teorema o risultato che stabilisce a quali condizioni ogni disuguaglianza contiene (per tutte le p ); vale a dire quando il DF binomiale è garantito sopra / sotto il suo limite di Poisson DF. Se tale teorema non esiste, qualsiasi idea o puntatore nella giusta direzione sarebbe apprezzato.
Si noti che una domanda simile, formulata in termini di funzioni beta e gamma incomplete, è stata pubblicata in math.stackexchange.com ma non ha ricevuto risposta.