Somma di due prodotti normali è Laplace?

Apparentemente è il caso che se $X_i \sim N(0,1)$ , allora

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Ho visto documenti su forme quadratiche arbitrarie, che si traducono sempre in orribili espressioni chi-quadrate non centrali.

La semplice relazione di cui sopra non mi sembra affatto ovvia, quindi (se è vero!) Qualcuno ha una semplice prova di quanto sopra?

Una sequenza elementare di passaggi che utilizzano relazioni ben note tra le distribuzioni e una semplice identità di polarizzazione algebrica forniscono una dimostrazione elementare e intuitiva.

Ho trovato questa identità di polarizzazione generalmente utile per ragionare e calcolare i prodotti di variabili casuali, perché li riduce a combinazioni lineari di quadrati. È un po 'come lavorare con le matrici diagonalizzandole per prime. (C'è più di una connessione superficiale qui.)

Una distribuzione di Laplace è una differenza di due esponenziali (che ha intuitivamente un senso, perché un esponenziale è una distribuzione "a metà giro"). (Il collegamento lo dimostra manipolando le funzioni caratteristiche, ma la relazione può essere dimostrata usando un'integrazione elementare che segue la definizione di una differenza come una convoluzione.)

$\Gamma(1)$$\chi^2(2)$$1/2$

$\chi^2$$2$

La relazione algebrica

$X_1X_2 + X_3X_4$$(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$$\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$