Densità hyperprior per modello gerarchico Gamma-Poisson

In un modello gerarchico di dati cui y ∼ Poisson ( λ ) λ ∼ Gamma ( α , β ) sembra essere in pratica tipico scegliere valori ( α , β ) in modo tale che la media e la varianza della distribuzione gamma corrispondano approssimativamente al media e varianza dei dati y (ad esempio, Clayton e Kaldor, 1987 "Stime empiriche di Bayes dei rischi relativi standardizzati per età per la mappatura delle malattie," Biometria ). Chiaramente questa è solo una soluzione ad hoc , poiché esagererebbe la fiducia del ricercatore nei parametri$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$ e piccole fluttuazioni nei dati realizzati potrebbero avere grandi conseguenze per la densità gamma,anche seil processo di generazione dei dati sottostante rimane lo stesso.$(\alpha, \beta)$

Inoltre, in Bayesian Data Analysis (2a edizione), Gelman scrive che questo metodo è " sciatto ;" nel libro e in questo articolo (a partire da p. 3232), suggerisce invece che dovrebbe essere scelta una certa densità di iperprioristi , in modo simile all'esempio dei tumori del ratto (a partire da p. 130).$p(\alpha, \beta)$

Sebbene sia chiaro che qualsiasi è ammissibile purché produca una densità posteriore finita, non ho trovato alcun esempio di densità iperpriorica che i ricercatori hanno usato per questo problema in passato. Gradirei molto se qualcuno potesse indicarmi libri o articoli che hanno impiegato una densità iperprioristica per stimare un modello Poisson-Gamma. Idealmente, sono interessato a p ( α , β ) che è relativamente piatto e sarebbe dominato dai dati come nell'esempio del tumore del ratto, o da una discussione che confronta diverse specifiche alternative e i compromessi associati a ciascuno.$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

Non rispondo davvero alla domanda, dal momento che non ti sto indicando libri o articoli che hanno impiegato un iperprior, ma invece sto descrivendo e collegando cose sui priori sui parametri gamma.

$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$$\lambda$$\lambda$$\beta$

$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

Se desideriamo seguire il percorso Full Jeffreys, formando il vero Jeffreys prima dei parametri Gamma, otterremmo:

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

Tuttavia, i priori di Jeffreys per i parametri multidimensionali hanno spesso proprietà scadenti e scarse caratteristiche di convergenza (vedi link alla lezione ). Non so se questo sia il caso del Gamma, ma i test fornirebbero alcune informazioni utili.

Per ulteriori informazioni sui priori per la Gamma, guarda le pagine 13-14 di Un catalogo di sacerdoti non informativi , Yang e Berger. Ci sono anche molte altre distribuzioni. Per una panoramica di Jeffreys e dei precedenti di riferimento, ecco alcune note di lezione .