Notazione in abbonamento nelle aspettative

Qual è il significato esatto della notazione dei pedici nelle aspettative condizionali nel quadro della teoria delle misure? Questi pedici non compaiono nella definizione di aspettativa condizionale, ma possiamo vedere ad esempio in questa pagina di Wikipedia . (Nota che non è stato sempre così, la stessa pagina qualche mese fa). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Quale dovrebbe essere ad esempio il significato di con e ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
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Non c'è dubbio che qualcuno entrerà in contatto con definizioni formali, in modo informale, tutte le aspettative sono aspettative sulla distribuzione di (/ aspettativa rispetto a) alcune variabili casuali (possibilmente multivariate), indipendentemente dal fatto che siano state esplicitamente specificate o lasciate implicite. In molti casi è ovvio ( implica anziché ). Altre volte, è necessario distinguere; considera ad esempio la legge della varianza totale: .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b,

@Glen_b È davvero necessario specificare nella legge della varianza totale? Dato che , per alcuni , non è chiaro che è sopra ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle,

@ThomasAhle Hai ragione - "necessario" era una parola troppo forte per quell'esempio. Mentre in senso stretto dovrebbe essere chiaro, spesso è un punto di confusione per i lettori abituati a lavorare con esso, quindi è comune, piuttosto che necessario, essere espliciti al riguardo. Ci sono alcune espressioni che implicano aspettative in cui non puoi essere sicuro senza specificare, ma non è proprio uno di questi

— Glen_b

In un'espressione in cui sono coinvolte più di una variabile aleatoria, il solo simbolo non chiarisce in relazione a quale variabile aleatoria è il valore atteso "preso". Per esempio $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ o

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Nemmeno . Quando sono coinvolte molte variabili casuali e non è presente alcun pedice nel simbolo , il valore atteso viene assunto rispetto alla loro distribuzione congiunta: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Quando è presente un pedice ... in alcuni casi ci dice su quale variabile dovremmo condizionare . Così

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Ma in altri casi, ci dice quale densità usare per la "media"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Piuttosto confuso direi, ma chi ha detto che la notazione scientifica è totalmente priva di ambiguità o uso multiplo? Dovresti guardare come ogni autore definisce l'uso di tali simboli.

— Alecos Papadopoulos
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Ho due domande 1) Non sono sicuro di averlo compreso correttamente, posso interpretare l'attesa come una delle prime due equazioni, se X o Y sono stati corretti? 2) Puoi fare un esempio per l'EQ 4 e l'EQ 5? Ho difficoltà a interpretarli e penso che esempi concreti possano essere d'aiuto. Grazie!

— gatto del soffitto

@ceiling cat 1) è corretto perché essenzialmente non hai ancora due variabili casuali. Allo stesso modo per fissare su .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos,

@ceiling cat 2) -EQ5: considera . è una variabile casuale va bene (per un supporto appropriato). Quindi, usando il significato specifico per la notazione , dove è la densità di (qualunque essa sia). Ovviamente non è integrato e rimarrà intatto. Ma il risultato che otterrai sarà vinto ' essere un numero (come nel mio commento precedente), ma una variabile casuale (una funzione di ), poiché qui non è fisso, ma non integrato

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat In entrambi i casi nei miei due precedenti commenti, la "meccanica" dei calcoli matematici sarà la stessa. I risultati finali hanno però interpretazioni diverse.

— Alecos Papadopoulos,

@ceiling cat 2) -EQ4: Si consideri la stessa variabile casuale . Il valore atteso condizionato da è (usando l'altro significato per la notazione abbreviata) . Si noti che qui le le non compaiono direttamente nell'integrale, poiché sono "condensate" nel simbolo .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos,