per quanto riguarda l'indipendenza condizionale e la sua rappresentazione grafica

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Quando studio la selezione della covarianza, ho letto una volta il seguente esempio. Rispetto al seguente modello:

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La sua matrice di covarianza e la matrice di covarianza inversa sono fornite come segue,

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Non capisco il motivo per cui l'indipendenza della ed è deciso dal covarianza inversa qui? $x$ $y$

Qual è la logica matematica alla base di questa relazione?

Inoltre, il grafico a sinistra nella figura seguente è affermato di cogliere la relazione indipendenza tra ed ; perché? $x$ $y$

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— bit-domanda
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La matrice di covarianza inversa può essere utilizzata per elaborare varianze condizionali e covarianze per distribuzioni gaussiane multivariate. Una domanda precedente fornisce alcuni riferimenti

Ad esempio, per trovare la covarianza condizionale di e dato il valore , dovresti prendere l'angolo in basso a destra della matrice inversa di covarianza $Y$ $Z$ $X=x$

(\begin{array}{rr} 1 & - 1 \\ - 1 & 3 \end{array}) and re-invert it to (\begin{array}{rr} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$

che in effetti dà la matrice di covarianza di e condizionata dal valore per . $Y$ $Z$ $X=x$

Allo stesso modo, per trovare la matrice di covarianza condizionale di e dato il valore per , dovresti prendere l'angolo in alto a sinistra della matrice di covarianza inversa $X$ $Y$ $Z=z$

(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) and re-invert it to (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

dicendoti che la covarianza condizionale tra e dato è (e che ciascuna delle loro varianze condizionate è ). $X$ $Y$ $Z=z$ $0$ $1$

Per concludere che questa covarianza zero condizionale implica indipendenza condizionale, devi anche usare il fatto che si tratta di un gaussiano multivariato (come in generale la covarianza zero non implica necessariamente indipendenza). Lo sai dalla costruzione.

Probabilmente sai anche dell'indipendenza condizionale dalla costruzione, poiché ti viene detto che e sono iid, quindi condizionati su un valore particolare per , e sono anche iid . Se si conosce , non ci sono informazioni aggiuntive da che consente di dire nulla sui possibili valori di . $\epsilon_1$ $\epsilon_2$ $Z=z$ $X=z+\epsilon_1$ $Y=z+\epsilon_2$ $Z=z$ $X$ $Y$

— Henry
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Questo è un supplemento alla risposta corretta e accettata. In particolare, la domanda originale contiene una domanda di follow-up sull'affermazione del libro.

$X$ $Y$

Questo è ciò che viene affrontato in questa risposta, ed è l' unica cosa affrontata in questa risposta.

Per essere sicuro di essere sulla stessa pagina, in quanto segue uso questa definizione di grafico di indipendenza condizionale (non indiretto) che corrisponde (almeno approssimativamente) ai campi casuali di Markov:

$X$ $G=(K,E)$ $K=\{ 1, 2, \dots, k \}$ $(i,j)$ $X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$ $X_{K \setminus \{i,j\}}$ $X_i$ $X_j$

Da p. 60 di Whittaker, Modelli grafici in Statistica matematica multivariata applicata (1990).

$X$ $Y$ $Z$ $X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

$X, Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$

$X$ $Y$

Per quanto riguarda il grafico a sinistra, non è chiaro senza avere più contesto, ma penso che l'idea sia solo quella di mostrare come sarebbe il grafico di indipendenza condizionale se non avessimo zeri in quelle voci della matrice di covarianza inversa.

$X, Y, Z$

— Chill2Macht
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