Specifica di una differenza nel modello di differenze con più periodi di tempo

Quando stima una differenza nel modello di differenze con due periodi di tempo, il modello di regressione equivalente sarebbe

un. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

• dove il è un manichino che è uguale a 1 se l'osservazione proviene dal gruppo di trattamento$Treatment$
• e è un manichino che è uguale a 1 nel periodo di tempo successivo al trattamento$d$

Pertanto l'equazione assume i seguenti valori.

• Gruppo di controllo, prima del trattamento:$\alpha$
• Gruppo di controllo, dopo il trattamento:$\alpha +\lambda$
• Gruppo di trattamento, prima del trattamento:$\alpha +\gamma$
• Gruppo di trattamento, dopo il trattamento: $\alpha+ \gamma+ \lambda+ \delta$

Quindi, in un modello a due periodi, la differenza nella stima delle differenze è .$\delta$

Ma cosa succede riguardo a se ho più di un periodo pre e post trattamento? Uso ancora un manichino che indica se un anno è prima o dopo il trattamento?$d_t$

Oppure aggiungo invece i manichini dell'anno senza specificare se ogni anno appartiene al periodo pre o post trattamento? Come questo:

b. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

O posso includere entrambi (cioè )?$yeardummy +\lambda d_t$

c. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

In conclusione, come posso specificare una differenza nel modello di differenze con più periodi di tempo (a, b o c)?

Il modo tipico di stimare una differenza nel modello di differenze con più di due periodi di tempo è la soluzione proposta b). Mantenendo la tua notazione, regrediresti dove è una variabile fittizia che è uguale a una per le unità di trattamento nel periodo post-trattamento ( ) ed è zero altrimenti. Si noti che questa è una formulazione più generale della differenza nella regressione delle differenze che consente diversi tempi del trattamento per le diverse unità trattate. D t ≡ Trattamento s ⋅ d t s d t =

$$Y_{ist} = \alpha +\gamma_s (\text{Treatment}_s) + \lambda (\text{year dummy}_t) + \delta D_{st} + \epsilon_{ist}$$ $D_t \equiv \text{Treatment}_s\cdot d_t$$s$$d_t = 1$

Come sottolineato correttamente nei commenti, la soluzione proposta c) non funziona a causa della collinearità con i manichini temporali e il manichino per il periodo post-trattamento. Tuttavia, una leggera variante di questo risulta essere un controllo di robustezza. Sia e due set di variabili fittizie per ciascuna unità di controllo e ciascuna unità trattata , rispettivamente, quindi interagendo con i manichini per le unità trattate con la variabile temporale e regredendo include una tendenza temporale specifica per unità γ s 1 s 0 s 1 t Y i s t = γ s 0 + γ s 1 t + λ ( anno fittizio t ) + δ D s t + ϵ i s t γ s 1 t $\gamma_{s0}$$\gamma_{s1}$$s0$$s1$$t$

$$Y_{ist} = \gamma_{s0} + \gamma_{s1}t + \lambda (\text{year dummy}_t) + \delta D_{st} + \epsilon_{ist}$$ $\gamma_{s1}t$. Quando si includono queste tendenze temporali specifiche dell'unità e la differenza nel coefficiente di differenze non cambia in modo significativo, si può essere più sicuri dei risultati. Altrimenti potresti chiederti se il tuo effetto terapeutico ha assorbito le differenze tra le unità trattate a causa di una tendenza temporale sottostante (può accadere quando le politiche entrano in azione in momenti diversi nel tempo).$\delta$

Un esempio citato in Angrist e Pischke (2009) Mostly Harmless Econometrics è uno studio di politica del mercato del lavoro di Besley e Burgess (2004) . Nel loro articolo accade che l'inclusione di tendenze temporali specifiche per stato uccida l'effetto di trattamento stimato. Si noti tuttavia che per questo controllo di robustezza sono necessari più di 3 periodi di tempo.

Vorrei chiarire qualcosa (e indirettamente indirizzare una domanda nei commenti). In particolare, riguarda l'uso di tendenze temporali lineari specifiche per unità. Come controllo di robustezza, sembrerebbe che tu stia interagendo solo con i manichini per le unità trattate (ad esempio, ) con un andamento temporale continuo. Tuttavia, in realtà è il caso di interagire con un set completo di manichini unità / stato (effetti fissi unità / stato) con una variabile di tendenza temporale lineare.$\gamma_{1s}$

Angrist e Pischke (2009) raccomandano questo approccio a pagina 238 in Mostly Harmless Econometrics . Le differenze di notazione possono causare confusione. Riproduzione delle specifiche 5.2.7:

$$y_{ist} = \gamma_{0s} + \gamma_{1s} t + \lambda_{t} + \delta D_{st} + X^{'}_{ist}\beta + \varepsilon_{ist},$$

dove è un'intercetta specifica dello stato , in conformità con il pedice utilizzato nel loro libro. È possibile visualizzare come coefficiente di tendenza specifico dello stato moltiplicando la variabile di tendenza temporale, . Articoli diversi usano notazioni diverse. Ad esempio, Wolfers (2006) replica un modello che incorpora tendenze temporali lineari specifiche dello stato. Riproduzione del modello (1):$\gamma_{0s}$$s$$\gamma_{1s}$$t$

$$y_{s,t} = \sum_{s} State_{s} + \sum_{t} Year_{t} + \sum_{s} State_{s}*Time_{t} + \delta D_{s,t} + \varepsilon_{s,t},$$

dove il modello include effetti fissi di stato e anno (ad esempio manichini per ogni stato e anno). La variabile di trattamento è quando lo stato adotta un regime di divorzio unilaterale nel periodo . Notare che questa specifica interagisce con i manichini di stato con una tendenza temporale lineare (cioè ). Questa è un'altra rappresentazione delle tendenze temporali lineari specifiche dello stato nelle specifiche del modello.$D_{s,t}$$s$$t$$Time_{t}$

Le tendenze temporali lineari specifiche dell'unità sono anche affrontate in un altro post (vedi sotto):

Come rendere conto del posizionamento del programma endogeno?

In breve, si desidera interagire tutti i manichini di unità (gruppo) con una variabile di tendenza temporale continua.

L'articolo di Justin Wolfers è il seguente per riferimento:

https://users.nber.org/~jwolfers/papers/Divorce(AER).pdf