Posso stimare la frequenza di un evento in base a campionamenti casuali della sua occorrenza?

Alcune modifiche apportate ...

Questa domanda è solo per divertimento, quindi se non è divertente, non esitare a ignorarla. Ho già ricevuto molto aiuto da questo sito, quindi non voglio mordere la mano che mi nutre. È basato su un esempio di vita reale ed è solo qualcosa di cui mi sono chiesto molto.

Visito il mio dojo locale per allenarmi su base essenzialmente casuale dal lunedì al venerdì. Supponiamo che visiti due volte a settimana. Ciò significa che visito esattamente due volte, ogni settimana, con solo due giorni variabili. C'è un individuo che è quasi sempre lì ogni volta che ci sono. Se visita lo stesso giorno di me, allora lo vedrò. Supponiamo che sia lì il 90% delle volte in cui sono lì. Voglio sapere due cose:

1) quanto spesso si allena

2) se arriva su base casuale o in determinati giorni della settimana.

Immagino che forse dobbiamo supporre l'uno per indovinare l'altro? Non ho davvero nessun posto con questo. Ci penso solo al riscaldamento ogni settimana e sono di nuovo sconcertato. Anche se qualcuno mi avesse dato modo di pensare al problema, sarei molto grato.

Saluti!

probability estimation sampling

— Chris Beeley
fonte

@Chris, bene devi iniziare definendo il tuo modello. Quando dici che visiti due volte a settimana a caso, ciò può potenzialmente significare molte cose. Ad esempio, potresti andare ogni settimana esattamente due volte, scelto come combinazione casuale di due elementi dell'insieme , oppure potresti andare in media due volte a settimana in cui, diciamo, lanci una moneta distorta con probabilità di teste di 2/5 e vai ogni giorno a vedere una testa. Queste non sono le uniche opzioni.

{Mon, \dots, Fri}

$\{\text{Mon},\ldots,\text{Fri}\}$

— cardinale il

Supponi anche che lo vedrai sempre se visiti il dojo lo stesso giorno di lui? In caso contrario, penso che dovremmo sapere qualcosa sulla durata delle sessioni e sulla durata delle sessioni rispetto alla durata di ogni giorno in cui il dojo è aperto.

— onestop

@Chris, @onestop, questa domanda mi ricorda ed è correlata a una tecnica usata per campionare persone che potrebbero essere riluttanti a rispondere a una domanda in modo veritiero, spesso a causa dello stigma sociale di rispondere affermativamente. Introduci un elemento casuale nel campionamento in modo tale che con una probabilità abbastanza alta il rispondente risponda in modo affermativo (risposta più imbarazzante) anche se in verità avrebbero risposto negativamente. Se la probabilità di un "sì" determinato casualmente è abbastanza alta, la "distorsione da imbarazzo" è ridotta. Certo, bisogna anche campionare più persone.

— cardinale il

@Chris Dovresti fare qualche altra ipotesi. Come è ora, ci sono molte spiegazioni valide. Eccone una stupida: le visite dell'individuo sono indipendenti dalle tue? Altrimenti, forse visiterà solo quando visiti (cerca la tua macchina fuori tutti i giorni), ma lancia una moneta (con probabilità 0.9) prima di decidere se entrare.

— vqv

Soluzione semplice: chiedigli :-).

— whuber

I tuoi dati forniranno risposte parziali tramite gli stimatori Hansen-Hurwitz o Horvitz-Thompson .

Il modello è questo: rappresenta la presenza di questo individuo come una sequenza di variabili indicatore (0/1) , . Osserva casualmente un sottoinsieme di due elementi da ciascun blocco settimanale . (Questa è una forma di campionamento sistematico.) $(q_i)$ $i=1, 2, \ldots$ $(q_{5k+1}, q_{5k+2}, \ldots, q_{5k+5})$

Quanto spesso si allena ? Vuoi stimare la media settimanale di . Le statistiche raccolte indicano che l'osservazione media è 0,9. Supponiamo questo è stato raccolto nel corso settimane. Quindi lo stimatore Horvitz-Thompson del numero totale di visite dell'individuo è = = = (dove è la possibilità di osservare e la somma è superiore alle tue osservazioni effettive.) Cioè, dovresti stimare che si allena per 4,5 giorni alla settimana. $q_i$ $w$ $\sum{\frac{q_i}{\pi_i}}$ ${5\over2} \sum{q_i}$ ${5\over2} (2 w) 0.9$ $4.5 w$ $\pi_i$ $q_i$ Vedere il riferimento per come calcolare l'errore standard di questa stima. Come approssimazione estremamente buona puoi usare le solite formule (binomiali).
Si allena a caso ? Non c'è modo di dirlo. Dovresti mantenere i totali per giorno della settimana.

— whuber
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