Distribuzione della somma dei quadrati delle variabili casuali distribuite a T.

Sto osservando la distribuzione della somma dei quadrati delle variabili casuali distribuite a T, con esponente di coda $\alpha$ . Dove X è il camper, la trasformata di Fourier per $X^2$ , $\mathscr{F}(t)$ mi dà una soluzione per il quadrato prima della convoluzione $\mathscr{F}(t)^n$ .

Con $\alpha=3$ , la soluzione è possibile ma ingombrante e impossibile da invertire per fare un Fourier inverso per $\mathscr{F}(t)^n$ . Quindi la domanda è: è stato fatto un lavoro sulla distribuzione della varianza del campione o della deviazione standard delle variabili casuali distribuite a T? (Sarebbe per lo studente T quello che il Chi-quadrato è per il gaussiano). Grazie.

(Possibile soluzione) Ho capito che $X^2$ è Fisher $F(1,\alpha)$ distribuito, quindi esaminerò la somma delle variabili distribuite di Fisher.

(Possibile soluzione) Dalle funzioni caratteristiche la media di ha riassunto X 2 ha le stesse prime due momenti di un F ( n , α ) la distribuzione, quando queste esistono. Quindi con te la radice quadrata e facendo un cambiamento di variabile all'interno di una distribuzione di probabilità, la densità della deviazione standard delle variabili T n-campione può essere approssimata con: g ( u ) = 2 α α / 2 n n / 2 u n - 1 ( α + n u $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

Un chiarimento della tua domanda (non mi sembra di essere due correlati, ma diversi, parti): siete alla ricerca di (1) la distribuzione di una somma di indipendente quadrato t α variabili casuali, e (2) il campionamento distribuzione del varianza (o la deviazione standard correlata) di un campione casuale prelevato da una distribuzione t α (presumibilmente il motivo per cui si chiede (1)).$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

Distribuzione della somma delle variabili quadrate indipendenti $t_{\alpha }$

$T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$$F(1,\alpha)$$\alpha$

$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$

$t_{\alpha }$

$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$$t$$t$

$\alpha=3$$F(1,\alpha)$

$T^2$$F$