Stimatore discreto per la più piccola delle due variabili casuali

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Supponiamo che $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ e $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

Sono interessato a . Esiste uno stimatore imparziale per $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$ ?

Lo stimatore semplice di cui e sono mezzi di esempio di e , ad esempio, è distorto (sebbene coerente). Tende a sottozotare . $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ $z$

Non riesco a pensare a uno stimatore imparziale per $z$ . Ne esiste uno?

Grazie per qualsiasi aiuto.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
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Questo è solo un paio di commenti, non una risposta (non hai abbastanza punto di risposta).

(1). Esiste una formula esplicita per il bias del semplice stimatore qui: $min(\bar{x},\bar{y})$

Clark, CE 1961, mar-apr. Il più grande di un insieme finito di variabili casuali. Ricerca operativa 9 (2): 145–162.

Non sono sicuro di come questo aiuti

(2). Questa è solo un'intuizione, ma penso che non esista un simile stimatore. Se esiste un simile stimatore, dovrebbe anche essere imparziale quando . Pertanto, qualsiasi "declassamento" che rende lo stimatore inferiore a quanto si dice la media ponderata dei due mezzi campione rende lo stimatore distorto per questo caso. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— O Zuk
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presumibilmente, qualsiasi correzione potrebbe finire con zero medio per questo caso.

— cardinale

Solo per chiarire, tuttavia, non sto affermando di ritenere che esista uno stimatore imparziale. In effetti, sono d'accordo che probabilmente non lo è .

— cardinale

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Sì d'accordo - questa è solo intuizione. Il seguente documento fornisce le condizioni per l'esistenza di uno stimatore imparziale per una funzione di una media gaussiana univaria - forse può essere estesa al multivariato: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— Or Zuk

Conoscere la distorsione può aiutare, è possibile correggere per ottenere uno stimatore imparziale. Io sono andato su questa strada, ma calcolando la polarizzazione esatta è necessario disporre di

e

- che noi non lo facciamo. Quindi, naturalmente, ho cercato di usare la media del campione invece di vedere cosa succede. Non sembra aiutare. Nelle simulazioni, anche lo stimatore corretto presenta distorsione. Mi sto sporgendo verso uno stimatore imparziale che non esiste, ma non ho trovato una buona prova per questo.

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— pazam,

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Hai ragione che non esiste uno stimatore imparziale. Il problema è che il parametro di interesse non è una funzione regolare della distribuzione dei dati sottostante a causa della non differenziabilità a . $\mu_x=\mu_y$

La prova è la seguente. Sia uno stimatore imparziale. Quindi . Il lato sinistro è differenziabile ovunque rispetto a e (differenziare sotto il segno integrale). Tuttavia, il lato destro non è differenziabile a $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , che porta a una contraddizione.

Hirano e Porter hanno una prova generale in un prossimo articolo di Econometrica (vedere la loro Proposta 1). Ecco la versione del documento di lavoro:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— user8817
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Molto bella! Grazie per aver seguito questa domanda.

— whuber

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Esiste uno stimatore per il minimo (o il massimo) di un insieme di numeri dati un campione. Vedi Laurens de Haan, "Stima del minimo di una funzione usando le statistiche dell'ordine", JASM, 76 (374), giugno 1981, 467-469.

— Jan Galkowski
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Purtroppo non credo che il documento che citi affronti questo problema. Il documento tratta quando hai un insieme di variabili non stocastiche A e trova l'elemento più piccolo in A attraverso il campionamento. Nel contesto di questo problema, ogni elemento in A sarebbe una variabile casuale, e qui sta il kicker. Devi trovare uno stimatore imparziale della media della variabile aleatoria più piccola in A.

— pazam

0

Sarei abbastanza sicuro che non esiste uno stimatore imparziale. Ma gli stimatori imparziali non esistono per la maggior parte delle quantità e l'imparzialità non è in primo luogo una proprietà particolarmente desiderabile. Perché ne vuoi uno qui?

Y

$Y$

Y

$Y$