Due effetti principali negativi ma effetto di interazione positivo?

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Ho due effetti principali, V1 e V2. Gli effetti di V1 e V2 sulle variabili di risposta sono negativi. Tuttavia, per qualche motivo sto ottenendo un coefficiente positivo per il termine di interazione V1 * V2. Come posso interpretarlo? tale situazione è possibile?

regression interaction

— Jin-Dominique
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Assolutamente. Può essere interpretato come una riduzione dell'effetto stimato inverso di V1 attraverso i livelli di V2 (o viceversa), cioè l'effetto inverso di V1 non è inverso per le osservazioni più alte di V2. Dovresti tracciare tutto da verificare.

— DL Dahly,

I coefficienti di effetto principali sono la pendenza della superficie di risposta nelle direzioni V1 e V2 nel punto V1 = V2 = 0. Se il tuo modello contiene un'intercettazione, prova a centrare V1 e V2 (cioè sottrarre i loro mezzi). L'interazione è il prodotto di V1 e V2 centrati; non è centrato separatamente e il suo coefficiente non dovrebbe cambiare.

— Ray Koopman,

Credo che il tuo sia un problema leggermente diverso, ma potresti trovare interessante il Paradosso di Simpson: en.wikipedia.org/wiki/Simpson's_paradox

— David Marx,

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Certamente. A titolo di esempio, si consideri un esperimento in cui si stanno aggiungendo determinati volumi di acqua calda (V1) e fredda (V2) a un acquario che inizia alla temperatura corretta. La variabile di risposta (V3) è il numero di pesci che sopravvivono dopo un giorno. Intuitivamente, se aggiungi solo acqua calda (aumenta V1), molti pesci moriranno (V3 scende). Se aggiungi solo acqua fredda (aumenta V2), molti pesci moriranno (V3 scende). Ma se aggiungi acqua calda e fredda (aumenta V1 e V2, quindi aumenta V1 * V2), il pesce andrà bene (V3 rimane alto), quindi l'interazione deve contrastare i due effetti principali ed essere positiva.

Di seguito, ho composto 18 punti dati che imitano la situazione di cui sopra e ho adattato la regressione lineare multipla in R e ho incluso l'output. Puoi vedere i due effetti principali negativi e l'interazione positiva nell'ultima riga. Puoi lasciare V1 = litri di acqua calda, V2 = litri di acqua fredda e V3 = numero di pesci vivi dopo un giorno.

   V1 V2  V3
1   0  0 100
2   0  1  90
3   1  0  89
4   1  1  99
5   2  0  79
6   0  2  80
7   2  1  91
8   1  2  92
9   2  2  99
10  3  3 100
11  2  3  88
12  3  2  91
13  0  3  70
14  3  0  69
15  3  3 100
16  4  0  61
17  0  4  60
18  4  2  82

A = matrix(c(0,0,100, 0,1,90, 1,0,89, 1,1,99, 2,0,79, 0,2,80, 2,1,91, 1,2,92, 
2,2,99, 3,3,100, 2,3,88, 3,2,91, 0,3,70, 3,0,69, 3,3,100, 4,0,61, 0,4,60, 
4,2, 82), byrow=T, ncol=3)

A = as.data.frame(A)

summary(lm(V3~V1+V2+V1:V2, data=A))


Coefficients:
(Intercept)           V1           V2        V1:V2  
    103.568      -10.853      -10.214        6.563

— Underminer
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Esempio intelligente.

— DL Dahly,

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Un modo alternativo di guardare la situazione al brillante esempio di @ underminer è di notare che con una regressione dei minimi quadrati, i valori adattati soddisfano i "vincoli di correlazione"

Σ_{io = 1}^{n} X_{io K} {\hat{y}}_{io} = Σ_{io = 1}^{n} X_{io K} y_{io}

$\sum_{ i=1}^nx_{ik}\hat{y}_i=\sum_{ i=1}^nx_{ik}y_i$

Dove $x_{ik}$

Nota come le interazioni generalmente "rovinano" l'interpretazione tipica dei beta come "effetto sulla risposta aumentando quella variabile di un'unità con tutte le altre variabili mantenute costanti ". Questa è un'interpretazione inutile quando sono presenti interazioni poiché sappiamo che la variazione di una singola variabile altererà i valori dei termini di interazione e gli effetti principali. Nel caso più semplice dato dal tuo esempio hai quel cambiamento $V1$

β_{1} + V 2 β_{1 * 2}

$\beta_1 + V2\beta_{1*2}$

Chiaramente solo guardando $\beta_1$ $V1$ sulla risposta.

— probabilityislogic
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