So che l'algebra lineare e l'analisi (in particolare la teoria della misura) sono importanti. È utile seguire corsi di laurea specialistica in analisi reali e complesse? Dovrei seguire corsi di algebra astratta oltre a quelli introduttivi, ad esempio l'algebra commutativa e la geometria algebrica?
Risposte:
A mio avviso, alcune opzioni per indagare a livello di laurea potrebbero essere: analisi funzionale (un quadro naturale per formulazioni statistiche), processi stocastici, controllo stocastico (l'analisi sequenziale è arresto ottimale), vari gusti di PDE (molti problemi probabilistici sono formulati come PDE parabolici e non lineari). Praticamente tutti questi richiedono un'analisi reale a livello universitario. Se sei interessato a cose teoriche, anche prendere la teoria delle misure è piuttosto importante come prerequisito per il trattamento completo di questi argomenti. L'analisi complessa avrà qualche utilità, ma meno di quanto sopra; ci sono connessioni alla probabilità (cioè funzioni armoniche), ma potrebbe non valerne la pena
L'algebra commutativa e la geometria algebrica non saranno molto utili (una connessione che mi viene in mente è la statistica algebrica, che non è ampiamente insegnata). Questi argomenti saranno anche molto impegnativi senza un solido background in matematica.
Se vuoi capire la teoria della misura non hai altra scelta che fare un'analisi reale e un'analisi avanzata (es. Topologia a punti). L'algebra astratta è decisamente più adatta all'analisi rispetto all'analisi, tuttavia penso che sia molto meno utile.
Ottieni un'analisi reale, ma non nel modo in cui vedo la gente farlo. Quando intervistiamo gli studenti di matematica non sembrano padroneggiare gli strumenti della vera analisi, cose semplici come prendere integrali sono fuori portata per la maggior parte di loro. Ancora non capisco perché. Quindi, il mio consiglio: presta attenzione innanzitutto alle applicazioni.
Ottieni anche corsi ODE e PDE, analisi funzionale e geometria differenziale. Algebra lineare e tensori, ovviamente. Tutto con particolare attenzione alle applicazioni.
Per quanto riguarda l'algebra commutativa e la geometria algebrica, i soggetti che sono meno trattati nelle altre risposte, la mia impressione è che finché si evitano le statistiche algebriche, si può cavarsela completamente senza di loro. Evitare le statistiche algebriche potrebbe essere sempre più difficile in futuro, poiché ha molte applicazioni e incroci con l'apprendimento automatico / statistico, che è molto importante nella ricerca odierna, così come applicazioni in altre aree. L'algebra commutativa e la geometria algebrica sono le materie che desideri apprendere in modo più specifico per le statistiche algebriche, vedi ad esempio le risposte a questa domanda: Geometria algebrica per statistica
Al contrario, tutti i sottocampi delle statistiche utilizzano l'analisi. (L'analisi non è così complessa, sebbene possa essere utile per comprendere le funzioni caratteristiche, un punto che sembra non essere stato ancora sollevato.) Penso che la teoria delle misure di livello universitario sarebbe probabilmente sufficiente, dal momento che ho incontrato statistici professionisti (ad esempio professori nei dipartimenti superiori) che guardano dall'alto in basso la teoria della misura, ma se vuoi davvero capire la teoria della misura, un corso di laurea specialistica in analisi reale è di grande aiuto. La teoria della misura universitaria tende a concentrarsi esclusivamente sulla misura di Lebesgue sulla linea reale, che ha molte belle proprietà che le misure generali potrebbero non necessariamente avere, e inoltre è una misura infinita. Al contrario, un corso di analisi reale a livello di laurea tenderà ad avere maggiore enfasi su misure astratte, che rendono le misure di probabilità in generale più facili da capire e rendono anche più chiara la relazione tra misure di probabilità continue e discrete - in altre parole, sarete in grado di vedere entrambi i soggetti riunirsi all'interno di un quadro nella vostra mente per la prima volta. Allo stesso modo, si potrebbe dimostrare il teorema di estensione di Kolmogorov in un simile corso. E la comprensione di misure astratte è davvero indispensabile per una comprensione rigorosa dei processi stocastici in tempo continuo. È anche utile per comprendere i processi stocastici in tempo discreto, sebbene meno importante che nel caso continuo. sarai in grado di vedere entrambi i soggetti riuniti all'interno di un quadro nella tua mente per la prima volta. Allo stesso modo, si potrebbe dimostrare il teorema di estensione di Kolmogorov in un simile corso. E la comprensione di misure astratte è davvero indispensabile per una comprensione rigorosa dei processi stocastici in tempo continuo. È anche utile per comprendere i processi stocastici in tempo discreto, sebbene meno importante che nel caso continuo. sarai in grado di vedere entrambi i soggetti riuniti all'interno di un quadro nella tua mente per la prima volta. Allo stesso modo, si potrebbe dimostrare il teorema di estensione di Kolmogorov in un simile corso. E la comprensione di misure astratte è davvero indispensabile per una comprensione rigorosa dei processi stocastici in tempo continuo. È anche utile per comprendere i processi stocastici in tempo discreto, sebbene meno importante che nel caso continuo.