Perché il test F nei modelli lineari gaussiani è più potente?

Per un modello lineare gaussiano $Y=\mu+\sigma G$ $\mu$ $W$ $G$ $\mathbb{R}^n$ $F$ $H_0\colon\{\mu \in U\}$ $U \subset W$

f = ϕ (2 \log \frac{sup_{μ \in W, σ > 0} L (μ, σ | y)}{sup_{μ \in U, σ > 0} L (μ, σ | y)}) .

$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$ Come possiamo sapere che questa statistica fornisce il test più potente per (forse dopo aver scartato casi particolari insoliti)? Ciò non deriva dal teorema di Neyman-Pearson perché questo teorema afferma che il test del rapporto di verosimiglianza è il più potente per le ipotesi puntuali e .

H_{0}

$H_0$

H_{0} : {μ = μ_{0}, σ = σ_{0}}

$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$

H_{1} : {μ = μ_{1}, σ = σ_{1}}

$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$

— Stéphane Laurent
fonte

Le famiglie MLR e il Teorema di Karlin-Rubin possono essere rilevanti qui.

— whuber

Puoi riscrivere in una forma come (in alternativa che non è 0). In sostanza, sarà nel sottospazio del quoziente corrispondente

H_{0} : μ \in U

$H_0: \mu\in U$

H_{0} : δ = 0

$H_0:\delta=\mathbf 0$

δ

$\delta$

W / U

$W/U$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b E allora vuoi dire che il teorema di Neyman-Pearson fornisce la conclusione?

— Stéphane Laurent,

Sono lontano da esperto su questo materiale, e ci sarà probabilmente qualcosa di importante che ho perso, ma credo che Neyman e Pearson di carta Discute ipotesi che includono parametri non specificati diversi da quelli nella prova; vale probabilmente la pena esaminarlo.

— Glen_b

Caro @ StéphaneLaurent: non possiamo saperlo perché non è vero.

— cardinale il

Ho seguito questa domanda per un po 'di tempo, sperando che qualcuno con una visione più profonda della teoria dei test classici possa spiegare perché quel test non è uniformemente il più potente in generale proprio come scrive @cardinal in un commento. È folklore che test uniformemente più potenti possono essere realmente costruiti solo per ipotesi unilaterali su parametri univariati, ma un commento del genere non risponde davvero alla domanda. $F$ $-$

L'esempio 5.5 in Statistiche teoriche di Cox e Hinkley mostra che il test è un test simile uniformemente più potente per una media univariata con varianza sconosciuta. Con riferimento alle tecniche in L'analisi della varianza di Scheffé, lo stesso esempio afferma che il test di un'ipotesi su un parametro nel caso multivariato è ancora un test simile uniformemente più potente con i parametri rimanenti e la varianza come parametri di disturbo. Quando il codice di è 1, il test è equivalente a un test . $t$ $t$ $U$ $F$ $t$

L'esempio 5.20, ancora in Cox e Hinkley, considera ANOVA a senso unico. Sostiene che nel caso con almeno tre gruppi non esiste un test simile uniformemente più potente dell'ipotesi che non vi siano differenze tra i gruppi. Questo fornisce gli ingredienti per dimostrare che il test non è uniformemente più potente, poiché per alternative specifiche ci sono test più potenti . Il test è, tuttavia, il test invariante uniformemente più potente . $F$ $t$ $F$

Cosa significa quindi simile e invariante ? Una sequenza nidificata di regioni critiche per i test di dimensione è chiamata simile se la probabilità di rifiuto sotto l'ipotesi è (per tutte le possibili scelte dei parametri di disturbo). Il test è invariante se le regioni critiche sono invarianti in un gruppo di trasformazioni. Per l'ANOVA a senso unico il gruppo è un gruppo di trasformazioni ortogonali. Consiglio di leggere il capitolo 5 in Cox e Hinkley per maggiori dettagli. Vedi anche la Sezione 2.10 del libro di Scheffé sulle proprietà ottimali test. $\alpha \in [0,1]$ $\alpha$ $F$

— NRH
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