Perché il test di indipendenza utilizza la distribuzione chi-quadro?

Il test di bontà di adattamento utilizza la seguente statistica : $\chi^2$ Nel test, garantendo che le condizioni sono soddisfatte, si usa il-distribuzioneper calcolare il valore p che, data l'è vera osserverebbe tale valore in un campione rappresentativo delle stesse dimensioni.

χ_{0}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\chi_0^2=\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

χ^{2}

$\chi^2$

H_{0}

$H_0$

Tuttavia, affinché una statistica segua una distribuzione (con gradi di libertà), deve essere vero che: $\chi_0^2$ $\chi^2$ $n-1$ per indipendenti, normale standard(Wikipedia). Le condizioni per il test sono le seguenti (di nuovo, daWikipedia):

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}} = \sum_{i = 1}^{n - 1} Z_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i^2$

Z_{i}

$Z_i$

Campione rappresentativo della popolazione
Grande dimensione del campione
Il conteggio delle cellule previsto è sufficientemente grande
Indipendenza tra ogni categoria

$E_i$ $Z_i$ $1/2$

La necessità di (4) sembra tornare utile in seguito, ma non riesco a vedere come.

$Z_i=\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}$ $O_i-E_i\sim \mathcal{N}(0, \sqrt{E_i})$ $n$ $n-1$

$Z_i$ $\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}$ $\chi_0^2=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i^2$ $Z_i$

$\chi_0^2$ $\chi^2$ $\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ $Z_i^2$ $Z_i$

hypothesis-testing chi-squared

— VF1
fonte

O_{i} - E_{i} \sim N (0, \sqrt{E_{i}})

$O_i-E_i\sim \mathcal{N}(0, \sqrt{E_i})$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2}

$\chi^2$ $\chi^2$ $\chi^2$

Dall'uguaglianza di due somme di quadrati non è possibile concludere che le radici quadrate sono uguali termine per termine! Poiché questo è il caso dei semplici numeri, lo è sicuramente anche delle variabili casuali.

— whuber

(W_{i}), i = 1, \dots, n

$(W_i),i=1, \ldots,n$

χ

$\chi$

ν_{1}, ν_{2}, \dots, ν_{n}

$\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_n$

ν_{1} + ν_{2} + \dots + ν_{n} = n - 1

$\nu_1+\nu_2+\cdots+\nu_n=n-1$

ν_{i} \neq 1

$\nu_i\ne 1$

i

$i$

W_{i}

$W_i$

\sum_{i = 1}^{n} W_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^n W_i^2$

χ^{2} (n - 1)

$\chi^2(n-1)$

n - 1

$n-1$

n

$n$

n

$n$

Risposte:

$X$ $\lambda$ $X$ $\lambda$

\frac{(X - λ)^{2}}{λ}

$\frac{(X-\lambda)^2}{\lambda}$

z^{2}

$z^2$

\sum_{i} z_{i}^{2} = Z^{'} I Z

$\sum_i z_i^2=Z' I Z$

Z^{'} Q Z

$Z' Q Z$

Q

$Q$

\sum_{i} (z_{i} - \bar{z})^{2}

$\sum_i (z_i-\bar{z})^2$

— Placidia
fonte

Mi dispiace, ma mi hai sicuramente perso a "Se invece, lo fai ..."

— VF1

@ VF1, ho apportato una modifica, quindi spero sia più chiaro. Il teorema di Cochrane è la risposta alla tua domanda su quando una somma di quadrati con normali ha una distribuzione chi-quadrata.

— Placidia,

OK, darò un'occhiata a questo. Lascerò aperta la domanda, comunque, nel caso in cui qualcun altro abbia qualcosa da aggiungere.

— VF1

Normalmente la dimensione del campione è fissa. Ciò significa che è impossibile che una qualsiasi delle voci possa seguire una distribuzione di Poisson. L'appello a una distribuzione di Poisson sembra quindi che sia solo un'altra approssimazione - e sembra lasciarci proprio dove abbiamo iniziato.

— whuber

$\chi^2$

Z_{i} = \frac{O_{i} - E_{i}}{\sqrt{E_{i}}}

$Z_i = \frac{O_i - E_i}{\sqrt{E_i}}$

\frac{O_{i} - E_{i}}{(S t a n d a r d E r r o r O f T h e O b s e r v e d)}

$\frac{O_i - E_i}{(Standard Error Of The Observed)}$

$(StandardErrorOfTheObserved)$ $\sqrt{E_i}$ $Z_i = \frac{O_i - E_i}{\sqrt{E_i}}$

Ad ogni modo, è possibile creare una statistica di prova del modulo

Z = | Z_{1} | + | Z_{2} | + | Z_{3} | + . . .

$Z = |Z_1| + |Z_2| + |Z_3| + ...$

χ^{2} = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} + . . .

$\chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 +...$

$\chi^2$ $\chi^2$

$\chi^2$

— CamilB
fonte