Esiste una formula in forma chiusa per (o una sorta di limite) dell'EMD tra e ?
Esiste una formula in forma chiusa per (o una sorta di limite) dell'EMD tra e ?
Risposte:
La distanza del movimento terra può essere scritta come , in cui l'infimo viene preso su tutte le distribuzioni congiunte di X e Y i marginali X \ sim P , Y \ Q sim . Questa è anche conosciuta come la prima distanza di Wasserstein , che è W_p = \ inf \ left (\ E \ lVert X - Y \ rVert ^ p \ right) ^ {1 / p} con lo stesso infimo.
Sia , .
superiore basato su W_2 : di
nuovo dalla disuguaglianza di Jensen,
. Quindi . Ma Dowson e Landau (1982) stabiliscono che
Un limite superiore più stretto:
considera l'accoppiamento
Questa è la mappa derivata da Knott e Smith (1984) , Sulla mappatura ottimale delle distribuzioni , Journal of Optimization Theory and Applications, 43 (1) pp 39-49 come mappatura ottimale per ; vedi anche questo post sul blog . Si noti che e
La distanza è quindi , dove ora
che è normale con
Pertanto un limite superiore per è . Sfortunatamente, una forma chiusa per questa aspettativa è sorprendentemente spiacevole da scrivere per le normali multivariate generali: vedi questa domanda , così come questa .
Se la varianza di finisce per essere sferica (ad esempio se , , allora la varianza di diventa ), la prima domanda fornisce la risposta in termini di un polinomio di Laguerre generalizzato.
In generale, abbiamo un limite superiore semplice per basato sulla disuguaglianza di Jensen, derivata ad esempio in quella prima domanda:
Questa disuguaglianza è rigorosa fintanto che non è degenerato, come nella maggior parte dei casi quando .
Una congettura : forse questo limite superiore più vicino, , è stretto. Poi di nuovo, ho avuto un limite superiore diverso qui per molto tempo che ho ipotizzato essere stretto che era in realtà più sciolto di quello , quindi forse non dovresti fidarti troppo di questa congettura. :)