Earth Mover's Distance (EMD) tra due gaussiani

Esiste una formula in forma chiusa per (o una sorta di limite) dell'EMD tra $x_1\sim N(\mu_1, \Sigma_1)$ e $x_2 \sim N(\mu_2, \Sigma_2)$ ?

normal-distribution distance

— ifog
fonte

Secondo en.wikipedia.org/wiki/Earth_mover%27s_distance l'EMD è uguale alla distanza di Mallows o Wasserstein, quindi puoi provare a cercarlo su Google.

— kjetil b halvorsen,

Questo documento potrebbe essere utile: vldb.org/pvldb/vol5/p205_brianeruttenberg_vldb2012.pdf

— jojer

$\DeclareMathOperator\EMD{\mathrm{EMD}} \DeclareMathOperator\E{\mathbb{E}} \DeclareMathOperator\Var{Var} \DeclareMathOperator\N{\mathcal{N}} \DeclareMathOperator\tr{\mathrm{tr}} \newcommand\R{\mathbb R}$ La distanza del movimento terra può essere scritta come , in cui l'infimo viene preso su tutte le distribuzioni congiunte di e i marginali , . Questa è anche conosciuta come la prima distanza di Wasserstein , che è con lo stesso infimo. $\EMD(P, Q) = \inf \E \lVert X - Y \rVert$ $X$ $Y$ $X \sim P$ $Y \sim Q$ $W_p = \inf \left( \E \lVert X - Y \rVert^p \right)^{1/p}$

Sia $X \sim P = \N(\mu_x, \Sigma_x)$ , $Y \sim Q = \N(\mu_y, \Sigma_y)$ .

E ‖ X - Y ‖ \geq ‖ E (X - Y) ‖ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖,

$\E \lVert X - Y \rVert \ge \lVert \E (X - Y) \rVert = \lVert \mu_x - \mu_y \rVert,$ inferiore: dalla disuguaglianza di Jensen, poiché le norme sono convesse,

quindi l'EMD è sempre almeno la distanza tra i mezzi (per eventuali distribuzioni).

$W_2$ superiore basato su : di nuovo dalla disuguaglianza di Jensen, $\left( \E \lVert X - Y \rVert \right)^2 \le \E \lVert X - Y \rVert^2$ . Quindi $W_1 \le W_2$ . Ma Dowson e Landau (1982) stabiliscono che

W_{2} (P, Q)^{2} = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x} + Σ_{y} - 2 (Σ_{x} Σ_{y})^{1 / 2}),

$W_2(P, Q)^2 = \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x + \Sigma_y - 2 (\Sigma_x \Sigma_y)^{1/2} \right) ,$ dando un limite superiore a

E M D = W_{1}

$\EMD = W_1$ .

Un limite superiore più stretto: considera l'accoppiamento Questa è la mappa derivata da Knott e Smith (1984) , Sulla mappatura ottimale delle distribuzioni , Journal of Optimization Theory and Applications, 43 (1) pp 39-49 come mappatura ottimale per ; vedi anche questo post sul blog . Si noti che e

\begin{aligned} X & \sim N (μ_{x}, Σ_{x}) \\ Y & = μ_{y} + \underset{A}{\underset{⏟}{Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}}}} (X - μ_{x}) . \end{aligned}

$\begin{align} X &\sim \N(\mu_x, \Sigma_x) \\ Y &= \mu_y + \underbrace{\Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12}}_A (X - \mu_x) .\end{align}$

W_{2}

$W_2$

A = A^{T}

$A = A^T$

\begin{aligned} E Y & = μ_{y} + A (E X - μ_{x}) = μ_{y} \\ Var Y & = A Σ_{x} A^{T} \\ = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} Σ_{x} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} \\ = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} (Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}}) Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} \\ = Σ_{y}, \end{aligned}

$\begin{align} \E Y &= \mu_y + A (\E X - \mu_x) = \mu_y \\ \Var Y &= A \Sigma_x A^T \\&= \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} \Sigma_x \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} \\&= \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right) \Sigma_x^{-\frac12} \\&= \Sigma_y ,\end{align}$ modo che l'accoppiamento sia valido.

La distanza è quindi , dove ora che è normale con $\lVert X - Y \rVert$ $\lVert D \rVert$

\begin{aligned} D & = X - Y \\ = X - μ_{y} - A (X - μ_{x}) \\ = (I - A) X - μ_{y} + A μ_{x}, \end{aligned}

$\begin{align} D &= X - Y \\&= X - \mu_y - A (X - \mu_x) \\&= (I - A) X - \mu_y + A \mu_x ,\end{align}$

\begin{aligned} E D & = μ_{x} - μ_{y} \\ Var D & = (I - A) Σ_{x} (I - A)^{T} \\ = Σ_{x} + A Σ_{x} A - A Σ_{x} - Σ_{x} A \\ = Σ_{x} + Σ_{y} - Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{\frac{1}{2}} - Σ_{x}^{\frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \E D &= \mu_x - \mu_y \\ \Var D &= (I - A) \Sigma_x (I - A)^T \\&= \Sigma_x + A \Sigma_x A - A \Sigma_x - \Sigma_x A \\&= \Sigma_x + \Sigma_y - \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{\frac12} - \Sigma_x^{\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} .\end{align}$

Pertanto un limite superiore per è . Sfortunatamente, una forma chiusa per questa aspettativa è sorprendentemente spiacevole da scrivere per le normali multivariate generali: vedi questa domanda , così come questa . $W_1(P, Q)$ $\E \lVert D \rVert$

Se la varianza di finisce per essere sferica (ad esempio se , , allora la varianza di diventa ), la prima domanda fornisce la risposta in termini di un polinomio di Laguerre generalizzato. $D$ $\Sigma_x = \sigma_x^2 I$ $\Sigma_y = \sigma_y^2 I$ $D$ $(\sigma_x - \sigma_y)^2 I$

In generale, abbiamo un limite superiore semplice per basato sulla disuguaglianza di Jensen, derivata ad esempio in quella prima domanda: $\E \lVert D \rVert$

\begin{aligned} {(E ‖ D ‖)}^{2} & \leq E ‖ D ‖^{2} \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x} + Σ_{y} - A Σ_{x} - Σ_{x} A) \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x}) + t r (Σ_{y}) - 2 t r (Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{\frac{1}{2}}) \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x}) + t r (Σ_{y}) - 2 t r ({(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \\ = W_{2} (P, Q)^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \left( \E \lVert D \rVert \right)^2 &\le \E \lVert D \rVert^2 \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x + \Sigma_y - A \Sigma_x - \Sigma_x A \right) \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x \right) + \tr\left( \Sigma_y \right) - 2 \tr\left( \Sigma_x^{-\frac12} \left(\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{\frac12} \right) \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x \right) + \tr\left( \Sigma_y \right) - 2 \tr\left( \left(\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \right) \\&= W_2(P, Q)^2 .\end{align}$ L'uguaglianza alla fine è perché le matrici e sono simili , quindi hanno gli stessi autovalori e quindi le loro radici quadrate hanno la stessa traccia.

Σ_{x} Σ_{y}

$\Sigma_x \Sigma_y$

Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}} = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} (Σ_{x} Σ_{y}) Σ_{x}^{\frac{1}{2}}

$\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 = \Sigma_x^{-\frac12} (\Sigma_x \Sigma_y) \Sigma_x^{\frac12}$

Questa disuguaglianza è rigorosa fintanto che non è degenerato, come nella maggior parte dei casi quando . $\lVert D \rVert$ $\Sigma_x \ne \Sigma_y$

Una congettura : forse questo limite superiore più vicino, , è stretto. Poi di nuovo, ho avuto un limite superiore diverso qui per molto tempo che ho ipotizzato essere stretto che era in realtà più sciolto di quello , quindi forse non dovresti fidarti troppo di questa congettura. :) $\E \lVert D \rVert$ $W_2$

— Dougal
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