Sto guardando un foglio Excel che afferma di calcolare il , ma non riconosco questo modo di farlo, e mi chiedevo se mi mancasse qualcosa.$\chi^2$

Ecco i dati che sta analizzando:

+------------------+----------+----------+
| Total Population | Observed | Expected |
+------------------+----------+----------+
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       25 | 32.5     |
|             2000 |       21 | 32.5     |
+------------------+----------+----------+

E qui ci sono le somme che fa per ogni gruppo per calcolare il chi quadrato:

P = (sum of all observed)/(sum of total population) = 0.01625
A = (Observed - (Population * P)) ^2
B = Total Population * P * (1-P)
ChiSq = A/B

Quindi per ogni gruppo il è:$\chi^2$

2.822793
2.822793
1.759359
4.136448

E il totale Piazza Chi è: 11.54139.

Tuttavia, ogni esempio che ho visto di calcolare è completamente diverso da questo. Farei per ogni gruppo:$\chi^2$

chiSq = (Observed-Expected)^2 / Expected

E quindi per l'esempio sopra otterrei un valore chi quadrato totale di 11.3538.

La mia domanda è: perché nel foglio Excel stanno calcolando in questo modo? È un approccio riconosciuto?$\chi^2$

AGGIORNARE

La mia ragione per voler sapere questo è che sto cercando di replicare questi risultati nel linguaggio R. Sto usando la funzione chisq.test e non esce con lo stesso numero del foglio Excel. Quindi, se qualcuno sa come fare questo approccio in R, sarebbe molto utile!

AGGIORNAMENTO 2

Se qualcuno è interessato, ecco come l'ho calcolato in R:

res <- matrix(c((2000-42), 42, (2000-42), 42, (2000-25), 25, (2000-21), 21), 2, 4)
chisq.test(res)

Questo risulta essere abbastanza semplice.

Questo è chiaramente un campionamento binomiale. Ci sono due modi per vederlo.

Il metodo 1, quello del foglio di calcolo, per trattare i conteggi osservati come , che può essere approssimato come . Pertanto, sono approssimativamente normali normali e le sono indipendenti, quindi (circa) .$X_i$$\sim \text{Bin}(N_i,p_i)$$\text{N}(\mu_i=N_i\cdot p_i,\sigma_i^2=N_i\cdot p_i(1-p_i))$$Z_i=(X_i-\mu_i)/\sigma_i$$Z$$\sum_i Z_i^2\sim \chi^2$

(Se le p si basano sui conteggi osservati, le non sono indipendenti, ma è comunque chi-quadrato con un grado di libertà inferiore.)$Z$

Metodo 2: l'utilizzo del sotto forma di chi-quadrato funziona anche, ma richiede che si tenga conto non solo di quelli della categoria che hai etichettato 'Osservato', ma anche quelli non in quella categoria:$(O-E)^2/E$

+------------+------+-------+
| Population | In A | Not A |
+------------+------+-------+
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   25 |  1975 |
|       2000 |   21 |  1979 |
+ -----------+------+-------+

Dove le per la prima colonna sono come le hai tu, e quelle per la seconda colonna sono$E$$N_i(1-p_i)$

... e quindi sommare su entrambe le colonne.$(O-E)^2/E$

Le due forme sono algebricamente equivalenti. Si noti che . Considera la i riga del chi-quadrato:$1/p + 1/(1-p) = 1/p(1-p)$$^{th}$

$$\begin{eqnarray} \frac{(X_i - \mu_i)^2}{\sigma_i^2} &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-N_i+N_ip_i-X_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-X_i-(N_i-N_ip_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{((N_i-X_i)-N_i(1-p_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(O^{(A)}_i- E^{(A)}_i)^2}{E^{(A)}_i} +\frac{(O^{(\bar A)}_i-E^{(\bar A)}_i)^2}{E^{(\bar A)}_i} \end{eqnarray}$$

Ciò significa che dovresti ottenere la stessa risposta in entrambi i modi, fino all'errore di arrotondamento.

Vediamo:

             Observed             Expected                 (O-E)^2/E          
  Ni        A     not A          A      not A             A           not A      
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     25         1975      32.5     1967.5       1.730769231     0.028589581     
 2000     21         1979      32.5     1967.5       4.069230769     0.067217281     

                                            Sum     11.35384615      0.187547649  

Chi-quadrato = 11.353846 + 0.187548 = 11.54139

Che corrisponde alla loro risposta.