Poiché la distribuzione beta è simile nella forma al binomio, perché è necessaria la distribuzione beta?

Sembra che la distribuzione binomiale sia molto simile nella forma alla distribuzione beta e che posso ri-parametrizzare le costanti su entrambi i pdf per farli sembrare uguali. Quindi, perché abbiamo bisogno della distribuzione beta? È per uno scopo specifico? Grazie!

Sono collegati, ma in realtà non sono così simili nella forma.

Nella beta, la variabile (e il suo complemento) viene elevata a una certa potenza, ma nel binomio la variabile è la potenza (e appare anche in un coefficiente binomiale).

Mentre le forme funzionali sembrano in qualche modo simili (ci sono termini in uno che corrispondono a termini nell'altro), le variabili che rappresentano i parametri e la variabile casuale in ognuna sono diverse. È piuttosto importante; è per questo che in realtà non sono affatto la stessa cosa.

La distribuzione binomiale viene generalmente utilizzata per i conteggi , o in forma scalata, per le proporzioni basate sui conteggi (sebbene sia possibile utilizzarlo per altre variabili casuali discrete limitate su una base pragmatica). È discreto.

La distribuzione beta è continua e quindi non viene normalmente utilizzata per i conteggi.

A titolo di esempio, confronta queste due funzioni:

$y = b^x,\, x=0,1,2,3,...$$y = x^a,\, 0<x<1$

$c^d$

- In sintesi: forma diversa e dominio diverso

$\text{beta}(1,1)$

$\text{beta}(2,1)$

L'intero beta pdf si trova tra i primi due picchi verdi nel binomio pf, anche se non possono davvero essere mostrati sullo stesso diagramma perché gli assi y misurano cose diverse.

Mentre le forme sono vagamente simili nel senso che sono entrambe inclinate, sono davvero piuttosto diverse e utilizzate per cose diverse.

-

Ecco una sfida:

$X_1\sim\text{beta}(1,1)$$X_2\sim\text{beta(3,2)}$$c=(0.95, 1.05)$$(1/\pi,1/e)$$(\exp(-\frac{1}{2}),2/\pi)$$(\exp(-3),1/\pi^2)$

$p$$p$