La distribuzione normale bivariata con media e matrice di covarianza può essere riscritta in coordinate polari con raggio e angolo . La mia domanda è: qual è la distribuzione campionaria di , cioè della distanza da un punto al centro stimato data la matrice di covarianza del campione ?θ r x ˉ x S
Sfondo: la vera distanza da un punto a significare segue una distribuzione di Hoyt . Con autovalori di e , il suo parametro shape è e il suo parametro di scala è . La funzione di distribuzione cumulativa è nota per essere la differenza simmetrica tra due funzioni Q di Marcum.x μ Σ λ 1 > λ 2 q = 1 ω=λ1+λ2
La simulazione suggerisce che collegare le stime e per e nel vero cdf funziona per campioni grandi, ma non per campioni piccoli. Il diagramma seguente mostra i risultati da 200 volte SμΣ
- simulazione di 20 vettori 2D normali per ciascuna combinazione di ( asse ), (righe) e quantile (colonne) datix ω
- per ogni campione, calcolando il dato quantile del raggio osservato in ˉ x
- per ogni campione, il calcolo del quantile dal Hoyt teorica (2D normale) CDF, e dal teorico cdf Rayleigh dopo aver collegato le stime campionarie e . S
Quando avvicina a 1 (la distribuzione diventa circolare), i quantili di Hoyt stimati si avvicinano ai quantili di Rayleigh stimati che non sono influenzati da . Man mano che cresce , la differenza tra i quantili empirici e quelli stimati aumenta, in particolare nella coda della distribuzione.q ω