Distribuzione campionaria del raggio di distribuzione normale 2D

La distribuzione normale bivariata con media e matrice di covarianza può essere riscritta in coordinate polari con raggio e angolo . La mia domanda è: qual è la distribuzione campionaria di , cioè della distanza da un punto al centro stimato data la matrice di covarianza del campione ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

Sfondo: la vera distanza da un punto a significare segue una distribuzione di Hoyt . Con autovalori di e , il suo parametro shape è e il suo parametro di scala è . La funzione di distribuzione cumulativa è nota per essere la differenza simmetrica tra due funzioni Q di Marcum. $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

La simulazione suggerisce che collegare le stime e per e nel vero cdf funziona per campioni grandi, ma non per campioni piccoli. Il diagramma seguente mostra i risultati da 200 volte $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

simulazione di 20 vettori 2D normali per ciascuna combinazione di ( asse ), (righe) e quantile (colonne) dati $q$ $x$ $\omega$
per ogni campione, calcolando il dato quantile del raggio osservato in $\hat{r}$ $\bar{x}$
per ogni campione, il calcolo del quantile dal Hoyt teorica (2D normale) CDF, e dal teorico cdf Rayleigh dopo aver collegato le stime campionarie e . $\bar{x}$ $S$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Quando avvicina a 1 (la distribuzione diventa circolare), i quantili di Hoyt stimati si avvicinano ai quantili di Rayleigh stimati che non sono influenzati da . Man mano che cresce , la differenza tra i quantili empirici e quelli stimati aumenta, in particolare nella coda della distribuzione. $q$ $q$ $\omega$

— Caracal
fonte

Quale è la domanda?

— Giovanni

@Giovanni Ho evidenziato la domanda: "Qual è la distribuzione campionaria di [raggio] , cioè della distanza da un punto al centro stimato data la matrice di convarianza del campione ?"

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— Caracal,

Perché al contrario di ?

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— SomeEE

@MathEE semplicemente perché la letteratura che conosco riguarda la distribuzione di (true) , non (true) . Si noti che questo è diverso dalla situazione con la distanza di Mahalanobis discussa in questa domanda . Naturalmente, i risultati per la distribuzione di sarebbero benvenuti.

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— Caracal,

Come hai menzionato nel tuo post, conosciamo la distribuzione della stima di se ci viene dato quindi conosciamo la distribuzione della stima del vero . $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

Vogliamo trovare la distribuzione di dovesono espressi come vettori di colonna.

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} Σ_{io = 1}^{N} (X_{io} - \bar{X})^{T} (X_{io} - \bar{X})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

Ora facciamo il trucco standard

dovederiva dall'equazione

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} Σ_{io = 1}^{N} (X_{io} - μ)^{T} (X_{io} - μ) \\ = & \frac{1}{N} Σ_{io = 1}^{N} (X_{io} - \bar{X} + \bar{X} - μ)^{T} (X_{io} - \bar{X} + \bar{X} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} Σ_{io = 1}^{N} (X_{io} - \bar{X})^{T} (X_{io} - \bar{X})] + (\bar{X} - μ)^{T} (\bar{X} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{X} - μ)^{T} (\bar{X} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$

(1)

$(1)$

e sua trasposizione.

\frac{1}{N} Σ_{io = 1}^{N} (X_{io} - \bar{X})^{T} (\bar{X} - μ) = (\bar{X} - \bar{X})^{T} (\bar{X} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

Si noti che è la traccia della matrice di covarianza del campione e dipende solo dalla media del campione . Così abbiamo scritto $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{X} - μ)^{T} (\bar{X} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ come la somma di due variabili casuali indipendenti. Conosciamo le distribuzioni di

e quindi siamo fatti tramite il trucco standard usando che le funzioni caratteristiche sono moltiplicative.

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Modificato per aggiungere:

è Hoyt quindi ha pdf $||x_i-\mu||$ doveè lafunzione di Bessel modificata didel primo tipo.

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} {io}_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

Ciò significa che il pdf di è $||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} {io}_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

$||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(S - B)^{2} - {un'}^{2}}} & (S - B) > un' \\ 0 & altro \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

$\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((S / N - B)^{2} - {un'}^{2})^{N / 2}} & (S / N - B) > un' \\ 0 & altro \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(S - N B)^{2} - (N un')^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(S / N - B)^{2} - {un'}^{2}}} & (S / N - B) > un' \\ 0 & altro \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((S / N - B)^{2} - {un'}^{2})^{(N - 1) / 2}} & (S / N - B) > un' \\ 0 & altro . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 io un'}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{B N ρ} J_{N / 2 - 1} (io un' N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
fonte

Grazie! Dovrò elaborare i dettagli prima di accettare.

— Caracal,

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

Ho modificato la mia risposta a una risposta completa. Per favore fatemi sapere se siete d'accordo.

— SomeEE

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$