Esiste un coniugato precedente alla distribuzione di Laplace?

Esiste un coniugato precedente alla distribuzione di Laplace ? In caso contrario, esiste un'espressione nota in forma chiusa che approssima il posteriore per i parametri della distribuzione di Laplace?

Ho cercato su google un bel po 'senza successo, quindi la mia ipotesi attuale è "no" sulle domande sopra ...

Vediamoli uno alla volta prima (prendendo l'altro come dato).

Dal link (con la modifica di seguire la convenzione di usare simboli greci per i parametri):

$f(x|\mu,\tau) = \frac{1}{2\tau} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{\tau} \right) \,$

- parametro scala :

$\cal{L}(\tau) \propto \tau^{-k-1} e^{-\frac{S}{\tau}} \,$

$k$$S$

Quindi il parametro scale ha un coniugato precedente - mediante ispezione il coniugato precedente è gamma inversa.

- parametro di posizione

$\sum_i|x_i-\mu|$$\mu$

Un priore uniforme troncerà semplicemente il posteriore, che non è poi così male da lavorare se sembra plausibile come un priore.

Una possibilità interessante che a volte può essere utile è che è piuttosto facile includere un precedente di Laplace (uno con la stessa scala dei dati) usando una pseudo-osservazione. Si potrebbe anche approssimare qualche altro (più stretto) prima attraverso diverse pseudo-osservazioni)

$\exp(-\sum_j |\mu-\theta_j|/\phi_j)$$\exp(-\sum_j w^*_j|\mu-\theta_j|)$

È anche abbastanza flessibile da poter essere usato per approssimare altri priori.

(Più in generale, si potrebbe lavorare sulla scala logaritmica e usare un precedente concavo logaritmico continuo, e anche il posteriore avrebbe quella forma; questo includerebbe Laplace asimmetrico come caso speciale)

Esempio

Solo per dimostrare che è abbastanza facile da gestire: di seguito è riportato un precedente (grigio tratteggiato), una probabilità (tratteggiata, nero) e posteriore (solido, rosso) per il parametro di posizione per un Laplace ponderato (... questo era con scale note ).

L'approccio ponderato di Laplace funzionerebbe bene in MCMC, credo.

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Mi chiedo se la modalità posteriore risultante sia una mediana ponderata?

- in realtà (per rispondere alla mia domanda), sembra che la risposta sia "sì". Questo rende piuttosto bello lavorare con.

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Priore congiunto

$f(\mu,\tau)=f(\mu|\tau)f(\tau)$$\mu|\tau$$\tau$$\tau$$\tau$

Senza dubbio qualcosa di più generale per il comune prima è del tutto possibile, ma non credo che perseguirò il caso comune oltre a quello qui.

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Non avevo mai visto o sentito parlare di questo approccio precedente ponderato prima, ma era piuttosto semplice inventarlo, quindi probabilmente è già stato fatto. (I riferimenti sono ben accetti, se qualcuno ne è a conoscenza.)

Se nessuno fosse a conoscenza di riferimenti, forse dovrei scrivere qualcosa, ma sarebbe sorprendente.