Regressione di Poisson vs. regressione dei minimi quadrati del numero di log?

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Una regressione di Poisson è una GLM con una funzione log-link.

Un modo alternativo per modellare i dati di conteggio non distribuiti normalmente è quello di preelaborare prendendo il registro (o meglio, registro (1 + conteggio) per gestire gli 0). Se si esegue una regressione dei minimi quadrati sulle risposte del conteggio dei registri, è correlata a una regressione di Poisson? Può gestire fenomeni simili?

regression poisson-distribution generalized-linear-model

— Brendan OConnor
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Come pensi di prendere i logaritmi di tutti i conteggi che sono zero?

— whuber

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Sicuramente non equivalente. Un modo semplice per vedere questo è guardare cosa accadrebbe se osservassi zero conteggi. (Commento creato prima di vedere il commento di @ whuber. Apparentemente questa pagina non si aggiornava correttamente sul mio browser.)

— cardinale

OK, ovviamente dovrei dire, accedi (1 + conteggio). Ovviamente non equivalente, ma chiedendosi se ci fosse una relazione o se fossero in grado di gestire fenomeni simili.

— Brendan OConnor,

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C'è un'utile discussione di questo problema qui: blog.stata.com/2011/08/22/…

— Michael Bishop,

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Da un lato, in una regressione di Poisson, il lato sinistro dell'equazione del modello è il logaritmo del conteggio atteso: . $\log(E[Y|x])$

D'altra parte, in un modello lineare "standard", il lato sinistro è il valore atteso della variabile di risposta normale: . In particolare, la funzione di collegamento è la funzione identità. $E[Y|x]$

Ora, supponiamo che sia una variabile di Poisson e che intendi normalizzarla prendendo il registro: . Poiché si suppone che sia normale, si prevede di adattare il modello lineare standard per il quale il lato sinistro è . Ma, in generale, $Y$ $Y' = \log(Y)$ $Y'$ $E[Y'|x] = E[\log(Y)|x]$ . Di conseguenza, questi due approcci alla modellazione sono diversi. $E[\log(Y) | x] \neq \log(E[Y|x])$

— OCRAM
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In realtà,

sempre a meno che

per alcune funzioni misurabili

, cioè

è completamente determinato da

.

E (\log (Y) | X) \neq \log (E (Y | X))

$\mathbb{E}(\log(Y) | X) \neq \log(\mathbb{E}(Y | X))$

P (Y = f (X) | X) = 1

$\mathbb{P}(Y = f(X) | X ) = 1$

σ (X)

$\sigma(X)$

f

$f$

Y

$Y$

X

$X$

— cardinale il

@cardinale. Molto ben messo.

— suncoolsu,

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Vedo due differenze importanti.

Innanzitutto, i valori previsti (sulla scala originale) si comportano diversamente; nei minimi quadrati loglineari rappresentano mezzi geometrici condizionati; nel modello log-poisson rappresentano i mezzi condizionali. Poiché i dati in questo tipo di analisi sono spesso distorti, la media geometrica condizionale sottostimerà la media condizionale.

Una seconda differenza è la distribuzione implicita: lognormale contro poisson. Ciò riguarda la struttura dell'eteroschedasticità dei residui: varianza residua proporzionale ai valori attesi al quadrato (lognormale) rispetto alla varianza residua proporzionale al valore atteso (Poisson).

— ludo
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-1

Una differenza evidente è che la regressione di Poisson produrrà numeri interi come previsioni puntuali mentre la regressione lineare del conteggio dei registri può produrre numeri non interi.

— Galit Shmueli
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Come funziona? Il GLM non stima le aspettative , che non sono necessariamente integrali?

— whuber

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Questo non è vero. Meccanicamente, le regressioni di Poisson sono perfettamente in grado di gestire i non interi. Gli errori standard non verranno distribuiti in modo anomalo, ma puoi semplicemente utilizzare robusti errori standard.

— Matteo,