La distribuzione stabile positiva in R

Le distribuzioni stabili positive sono descritte da quattro parametri: il parametro skewness , il parametro scale , il parametro location e così via -called index parametro . Quando è zero la distribuzione è simmetrica intorno a , quando è positiva (rispettivamente negativa) la distribuzione è inclinata a destra (rispetto a sinistra) Le distribuzioni stabili consentono code grasse quando diminuisce.$\beta\in[-1,1]$$\sigma>0$$\mu\in(-\infty,\infty)$$\alpha\in(0,2]$$\beta$$\mu$$\alpha$

Quando è strettamente inferiore a uno e il supporto della distribuzione si limita a .$\alpha$$\beta=1$$(\mu,\infty)$

La funzione di densità ha solo un'espressione a forma chiusa per alcune particolari combinazioni di valori per i parametri. Quando , , e è (vedere la formula (4.4) qui ):$\mu=0$$\alpha<1$$\beta=1$$\sigma=\alpha$

$f(y) = -\frac{1}{\pi y} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma(k\alpha+1)}{k!} (-y^{-\alpha})^k \sin(\alpha k \pi)$

Ha media e varianza infinite.

Domanda

Vorrei usare quella densità in R. Io uso

> alpha <- ...
> dstable(y, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)

dove la funzione dstable viene fornita con il pacchetto fBasics.

Puoi confermare che questo è il modo giusto per calcolare quella densità in R?

Grazie in anticipo!

MODIFICARE

Uno dei motivi per cui sono sospettoso è che, nell'output, il valore di delta è diverso da quello nell'input. Esempio:

> library(fBasics)
> alpha <- 0.4
> dstable(4, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
stable   0.4    1   0.4 0.290617  1

La risposta breve è che il tuo va bene, ma il tuo è sbagliato. Per ottenere la distribuzione stabile positiva data dalla tua formula in R, devi impostare $\delta$$\gamma$

$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}.$$

Il primo esempio che ho trovato della formula che hai dato è stato in (Feller, 1971), ma ho trovato quel libro solo in forma fisica. Tuttavia (Hougaard, 1986) fornisce la stessa formula, insieme alla trasformazione di Laplace Dal manuale ( usato in ), la parametrizzazione è di (Samorodnitsky e Taqqu, 1994), un'altra risorsa la cui riproduzione online mi ha eluso. Tuttavia (Weron, 2001) fornisce la funzione caratteristica nella parametrizzazione di Samorodnitsky e Taqqu affinché sia

$$\mathrm{L}(s) = \mathrm{E}\left[\exp(-sX)\right] = \exp\left(-s^\alpha\right).$$ stablediststabledistfBasicspm=1$\alpha \neq 1$ $$\varphi(t) = \mathrm{E}\left[\exp(i t X) \right] = \exp\left[i \delta t - \gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \beta \mathrm{sign}(t) \tan{\frac{\pi \alpha}{2}} \right) \right].$$ Ho rinominato alcuni parametri dalla carta di Weron al lato della moneta con la notazione che stiamo usando. Usa per e per . In ogni caso, inserendo e , otteniamo $\mu$$\delta$$\sigma$$\gamma$$\beta=1$$\delta=0$ $$\varphi(t) = \exp\left[-\gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \mathrm{sign}(t) \tan \frac{\pi \alpha}{2} \right) \right].$$

Si noti che per e che . Formalmente, , quindi impostando in otteniamo Un punto interessante da notare è che la che corrisponde a è anche , quindi se dovessi provare o$(1 - i \tan (\pi \alpha / 2)) / |1 - i \tan(\pi \alpha / 2)| = \exp(-i \pi \alpha / 2)$$\alpha \in (0, 1)$$i^\alpha = \exp(i \pi \alpha / 2)$$\mathrm{L}(s)=\varphi(is)$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}$$\varphi(t)$

$$\varphi(is) = \exp\left(-s^\alpha\right) = \mathrm{L}(s).$$ $\gamma$$\alpha=1/2$$1/2$$\gamma=\alpha$$\gamma=1-\alpha$, che in realtà non è una cattiva approssimazione, finisci esattamente per .$\alpha=1/2$

Ecco un esempio in R per verificare la correttezza:

library(stabledist)

# Series representation of the density
PSf <- function(x, alpha, K) {
  k <- 1:K
  return(
    -1 / (pi * x) * sum(
      gamma(k * alpha + 1) / factorial(k) * 
        (-x ^ (-alpha)) ^ k * sin(alpha * k * pi)
    )
  )
}

# Derived expression for gamma
g <- function(a) {
  iu <- complex(real=0, imaginary=1)
  return(abs(1 - iu * tan(pi * a / 2)) ^ (-1 / a))
}

x=(1:100)/100
plot(0, xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 2), pch='', 
     xlab='x', ylab='f(x)', main="Density Comparison")
legend('topright', legend=c('Series', 'gamma=g(alpha)'),
       lty=c(1, 2), col=c('gray', 'black'),
       lwd=c(5, 2))
text(x=c(0.1, 0.25, 0.7), y=c(1.4, 1.1, 0.7), 
     labels=c(expression(paste(alpha, " = 0.4")),
              expression(paste(alpha, " = 0.5")),
              expression(paste(alpha, " = 0.6"))))

for(a in seq(0.4, 0.6, by=0.1)) {
  y <- vapply(x, PSf, FUN.VALUE=1, alpha=a, K=100)
  lines(x, y, col="gray", lwd=5, lty=1)
  lines(x, dstable(x, alpha=a, beta=1, gamma=g(a), delta=0, pm=1), 
        col="black", lwd=2, lty=2)
}

$\hskip1in$

1. Feller, W. (1971). Introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni , 2 , 2a ed. New York: Wiley.
2. Hougaard, P. (1986). Modelli di sopravvivenza per popolazioni eterogenee derivate da distribuzioni stabili , Biometrika 73 , 387-396.
3. Samorodnitsky, G., Taqqu, MS (1994). Processi casuali non gaussiani stabili , Chapman & Hall, New York, 1994.
4. Weron, R. (2001). Distribuzioni stabili al Levy rivisitate: indice di coda> 2 non esclude il regime Levy-stabile , International Journal of Modern Physics C, 2001, 12 (2), 209-223.

Quello che penso stia accadendo è che nell'output deltapotrebbe essere riportato un valore di posizione interno, mentre nell'input deltasta descrivendo lo spostamento. [Sembra esserci un problema simile con gammaquando pm=2.] Quindi se provi ad aumentare il passaggio a 2

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1)
[1] 0.06569375
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 2.290617  1

quindi aggiungi 2 al valore della posizione.

Con beta=1e pm=1hai una variabile casuale positiva con un limite inferiore di distribuzione a 0.

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=1))
[1] 0.002666507

Sposta di 2 e il limite inferiore aumenta della stessa quantità

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1))
[1] 2.003286

Ma se si desidera che l' deltainput sia il valore della posizione interna anziché lo spostamento o il limite inferiore, è necessario utilizzare una specifica diversa per i parametri. Ad esempio, se provi quanto segue (con pm=3e try delta=0e quello che delta=0.290617hai trovato in precedenza), sembra che tu abbia lo stesso deltadentro e fuori. Con pm=3e delta=0.290617ottieni la stessa densità di 0,02700602 che hai trovato in precedenza e un limite inferiore a 0. Con pm=3e delta=0ottieni un limite inferiore negativo (in effetti -0,290617).

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3)
[1] 0.02464434
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma delta pm
 stable   0.4    1   0.4     0  3
> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 0.290617  3
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3))
[1] -0.2876658
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3))
[1] 0.004303485

Potresti trovare più semplice semplicemente ignorare deltanell'output, e finché continui a beta=1usare i pm=1mezzi deltanell'input è il limite inferiore di distribuzione, che sembra tu voglia essere 0.

Nota anche: Martin Maechler ha appena modificato il codice per la distribuzione stabile e ha aggiunto alcuni miglioramenti.

Il suo nuovo pacchetto stabledist verrà utilizzato anche da fBasics, quindi potresti dare un'occhiata anche a questo.