Semplici esempi di e non correlati ma non indipendenti

Ogni studente laborioso è un controesempio di "tutti gli studenti sono pigri".

Quali sono alcuni semplici controesempi a "se le variabili casuali e non sono correlate allora sono indipendenti"?$X$$Y$

Lascia che $X\sim U(-1,1)$ .

Sia .$Y=X^2$

Le variabili non sono correlate ma dipendenti.

In alternativa, considera una distribuzione bivariata discreta consistente in probabilità in 3 punti (-1,1), (0, -1), (1,1) con probabilità 1/4, 1/2, 1/4 rispettivamente. Quindi le variabili non sono correlate ma dipendenti.

Considera l'uniforme dei dati bivariata in un diamante (un quadrato ruotato di 45 gradi). Le variabili saranno non correlate ma dipendenti.

Questi sono i casi più semplici che mi vengono in mente.

Penso che l'essenza di alcuni dei semplici controesempi possa essere vista iniziando con una variabile casuale continua centrata su zero, cioè E [ X ] = 0 . Supponiamo che il pdf di X sia pari e definito su un intervallo del modulo ( - a , a ) , dove a > 0 . Supponiamo ora Y = f ( X ) per alcune funzioni f . Facciamo ora la domanda: per quale tipo di funzioni f ( X ) possiamo avere C $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$ ?$Cov(X,f(X))=0$

Sappiamo che . La nostra ipotesi che E [ X ] = 0 ci porta direttamente a C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$ . Denotando il pdf di X via p ( ⋅ ) , abbiamo$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

.$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$

Vogliamo e un modo per raggiungere questo obiettivo è garantire che f ( x ) sia una funzione pari, il che implica che x f ( x ) p ( x ) sia una funzione dispari. Segue quindi che ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 , e quindi C o $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ .$Cov(X,f(X))=0$

In questo modo, si può vedere che la precisa distribuzione di è irrilevante fintanto che il pdf è simmetrico intorno certo punto e qualsiasi funzione anche f ( ⋅ ) farà per definire Y .$X$$f(\cdot)$$Y$

Speriamo che questo possa aiutare gli studenti a capire come le persone escono con questi tipi di controesempi.

Sii il controesempio (cioè studente laborioso)! Detto questo:

Stavo cercando di pensare a un esempio del mondo reale e questo è stato il primo che mi è venuto in mente. Questo non sarà il caso matematicamente più semplice (ma se capisci questo esempio, dovresti essere in grado di trovare un esempio più semplice con urne e palline o qualcosa del genere).

Secondo alcune ricerche, il QI medio di uomini e donne è lo stesso, ma la varianza del QI maschile è maggiore della varianza del QI femminile. Per concretezza, diciamo che il QI maschile segue e il QI femminile segue N ( 100 , α σ 2 ) con α < 1 . Metà della popolazione è di sesso maschile e metà della popolazione è di sesso femminile.$N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

Supponendo che questa ricerca sia corretta:

Qual è la correlazione di genere e QI?

Il genere e il QI sono indipendenti?

Possiamo definire una variabile casuale discreta con P ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

e quindi definire $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Si può facilmente verificare che e Y non siano correlati ma non indipendenti.$X$$Y$

Prova questo (codice R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Questo è dall'equazione del cerchio $x^2+y^2-r^2=0$

non è correlato a x , ma è funzionalmente dipendente (deterministico). $Y$$x$

L'unico caso generale in cui la mancanza di correlazione implica l'indipendenza è quando la distribuzione congiunta di X e Y è gaussiana.

Una risposta a due frasi: il caso più chiaro di dipendenza statistica non correlata è una funzione non lineare di un camper, diciamo Y = X ^ n. I due camper sono chiaramente dipendenti ma non correlati, poiché la correlazione è una relazione lineare.