La "statistica test" è un valore o una variabile casuale?

Sono uno studente che frequenta il mio primo corso di Statistica ora. Sono confuso dal termine "statistica test".

Di seguito (l'ho visto in alcuni libri di testo), sembra essere un valore specifico calcolato da un campione specifico. t = ¯ x - μ $t$

Tuttavia, nel seguito (l'ho visto in alcuni altri libri di testo), sembra essere una variabile casuale. T = ¯ X - μ $T$

Quindi, il termine "statistica test" significa un valore specifico o una variabile casuale o entrambi ?

La risposta breve è "sì".

La tradizione in notazione consiste nell'utilizzare una lettera maiuscola (T nella precedente) per rappresentare una variabile casuale, e una lettera minuscola (t) per rappresentare un valore specifico calcolato o osservato di quella variabile casuale.

T è una variabile casuale perché rappresenta i risultati del calcolo da un campione scelto a caso. Dopo aver preso il campione (e la casualità è finita), puoi calcolare t, il valore specifico e trarre conclusioni in base a come t si confronta con la distribuzione di T.

Quindi la statistica del test è una variabile casuale quando pensiamo a tutti i valori che potrebbe assumere sulla base di tutti i diversi campioni che potremmo raccogliere. Ma una volta raccolto un singolo campione, calcoliamo un valore specifico della statistica del test.

Una statistica di prova è una statistica utilizzata per prendere una decisione sull'ipotesi nulla.

Una statistica è un valore realizzato (ad es. T): una statistica è un valore numerico che indica qualcosa su un campione. Poiché le statistiche vengono utilizzate per stimare il valore di un parametro di popolazione, sono essi stessi valori. Poiché i campioni (abbastanza a lungo) sono sempre diversi, le statistiche (le dichiarazioni numeriche sui campioni) differiranno. Una distribuzione di probabilità di una statistica ottenuta attraverso un gran numero di campioni prelevati da una popolazione specifica è chiamata distribuzione campionaria, ovvero una distribuzione di quella statistica, considerata come una variabile casuale.

Una statistica è una variabile casuale (ad es. T): una statistica è qualsiasi funzione dei dati (invariata da campione a campione). I dati sono descritti da variabili casuali (di qualche dimensione adatta). Poiché qualsiasi funzione di una variabile casuale è essa stessa una variabile casuale, una statistica è una variabile casuale.

È quasi sempre chiaro dal contesto quale significato si intende, specialmente quando si osserva la convenzione maiuscola / minuscola.

Una statistica di prova è un'osservazione specifica dei dati osservati che segue una distribuzione di probabilità in base a una determinata ipotesi. Questo presupposto è di solito chiamato il$H_0$.

Ad esempio, nel tuo campione la statistica del test (chiamata statistica t) dipende dai dati osservati ($\bar{x}$ e $s$ sono entrambi derivati ​​dai dati).

Partendo dal presupposto che la tua media sia $\mu_0$, la statistica calcolata seguirà una determinata distribuzione. La probabilità che questo valore della statistica si verifichi viene quindi determinata in base al presupposto. Se tale valore è considerato basso, l'assunzione ($H_0$) è respinto.

Se rifiutiamo il $H_0$presupposto, ciò non significa che l'assunto che abbiamo fatto fosse garantito falso. Se fosse vero e l'abbiamo rifiutato a causa della bassa probabilità della statistica test sotto$H_0$, Noi lo chiamiamo un errore di tipo I .

D'altro canto, se accettiamo il presupposto, ciò non significa che il nostro presupposto fosse vero. Se il presupposto era falso e l'abbiamo accettato perché aveva probabilità abbastanza alte sotto il nostro presupposto sbagliato, questo si chiama errore di tipo II .

La statistica è un valore specifico ed è solo se accettiamo determinati presupposti dato che possiamo supporre che segua una distribuzione di probabilità specifica.

Questo principio vale per tutte le statistiche dei test, non solo per le statistiche t che menzionate qui.