L'aspettativa è uguale alla media?

Sto facendo ML presso la mia università, e il professore ha menzionato il termine Expectation (E), mentre cercava di spiegarci alcune cose sui processi gaussiani. Ma dal modo in cui l'ha spiegato, ho capito che E è uguale alla media μ. Ho capito bene?

Se è lo stesso, sai perché vengono usati entrambi i simboli? Inoltre ho visto che E può essere usato come una funzione, come E ( ), ma non l'ho visto per μ. $x^2$

Qualcuno può aiutarmi a capire meglio la differenza tra i due?

machine-learning gaussian-process linear-algebra

— Jim Blum
fonte

Per continua , dove è la funzione di densità di probabilità. Quindi è vero solo quando è l'argomento. Tuttavia, potrebbe anche essere vero se abbiamo , dove è qualcosa di diverso dalla funzione identità.

X

$X$

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) x d x = μ (x)

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)x dx = \mu(x)$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

E [g (X)] = E [X] = μ (X)

$E[g(X)] = E[X] = \mu(X)$

g

$g$

— Jase,

@Jase ? Perché il lato destro è una funzione di , che avrebbe dovuto scomparire dopo la sostituzione dei limiti durante la valutazione dell'integrale?

μ (x)

$\mu(x)$

x

$x$

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate era un errore di battitura. Significa dire .

μ (x)

$\mu(x)$

μ = μ (X)

$\mu = \mu(X)$

— Jase,

John: se fossi in te, imparerei le probabilità di base prima di prendere lezioni di Machine Learning / Gaussian Processes. Dai un'occhiata a questo libro: math.uiuc.edu/~r-ash/BPT.html

— Zen

Grazie mille ragazzi per il vostro aiuto! Non mi aspettavo così tanto feedback. @Zen Grazie mille per il tuo consiglio. Sono assolutamente d'accordo con te. Ho preso un modulo come studente universitario in probabilità e statistiche, tuttavia, abbiamo appena avuto una semplice introduzione a distribuzioni e probabilità, e sfortunatamente non li abbiamo approfonditi. Inoltre, non abbiamo menzionato il termine "Aspettativa". Sto provando ora, a coprire da solo le mie lacune nelle statistiche e nelle probabilità.

— Jim Blum,

Risposte:

Aspetto / valore atteso è un operatore che può essere applicato a una variabile casuale. Per variabili casuali discrete (come il binomio) con possibili valori è definito come . Cioè, è la media dei possibili valori ponderati dalla probabilità di tali valori. Le variabili casuali continue possono essere pensate come la generalizzazione di questo: . La media di una variabile casuale è sinonimo di aspettativa. $k$ $\sum_i^k x_i p(x_i)$ $\int x dP$

La distribuzione gaussiana (normale) ha due parametri e . Se è normalmente distribuito, allora . Quindi la media di una variabile distribuita gaussiana è uguale al parametro . Questo non è sempre il caso. Prendi la distribuzione binomiale, che ha i parametri e . Se è distribuito binomialmente, allora . $\mu$ $\sigma^2$ $X$ $E(X)=\mu$ $\mu$ $n$ $p$ $X$ $E(X)=np$

Come hai visto, puoi anche applicare l'aspettativa alle funzioni di variabili casuali in modo che per una gaussiana trovi . $X$ $E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

La pagina di Wikipedia sui valori previsti è piuttosto istruttiva: http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value

— Jeremy Coyle
fonte

"... così che per una gaussiana puoi trovare " È assolutamente necessario che di Gaussian sostenga questa relazione?

X

$X$

E (X^{2}) = σ^{2} + μ^{2}

$E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

X

$X$

— Dilip Sarwate,

La relazione sarà sempre valida, ma mi aspetterei la risposta scritta in termini di parametri della distribuzione. Quindi, se chiedessi a qualcuno cosa fosse per Binomial distribuito , mi aspetterei la risposta , non

E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2}

$E(X^2)=V(X)+E(X)^2$

E (X^{2})

$E(X^2)$

X

$X$

(n, p)

$(n,p)$

n p (1 - p) + (n p)^{2}

$np(1-p)+(np)^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

— Jeremy Coyle,

Ma se chiedessi cosa fosse per una variabile casuale binomiale con media e varianza , la risposta sarebbe . Concesso che le variabili casuali binomiali siano di solito parametrizzate usando e , ma allora? Dalla media e dalla varianza possiamo facilmente trovare e

E (X^{2})

$E(X^2)$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

n

$n$

p

$p$

p = 1 - \frac{variance}{mean}

$p = 1 - \frac{\text{variance}}{\text{mean}}$

n = \frac{mean}{p} = \frac{{mean}^{2}}{mean - variance} .

$n = \frac{\text{mean}}{p} = \frac{\text{mean}^2}{\text{mean}-\text{variance}}.$

— Dilip Sarwate,

L'intero punto dell'esempio era fare una distinzione tra i parametri di una distribuzione e i momenti di una distribuzione. Sì, è possibile ri-parametrizzare le distribuzioni in termini di momenti, ma poiché l'OP stava chiedendo informazioni sulla relazione tra e , sembra importante continuare a fare questa distinzione. C'è un motivo per cui scegli di essere pedante su questo punto?

E (X)

$E(X)$

μ

$\mu$

— Jeremy Coyle,

Grazie mille Jeremy! Risposta eccellente. sei stato molto utile!

— Jim Blum,

L'aspettativa con una notazione dell'operatore E () (si trovano diverse preferenze su caratteri buoni, romani o corsivi, semplici o fantasiosi) implica prendere la media della sua argomentazione, ma in un contesto matematico o teorico. Il termine risale a Christiaan Huygens nel 17 ° secolo. L'idea è esplicita in gran parte della teoria della probabilità e delle statistiche matematiche e, ad esempio, il libro Probabilità via aspettativa di Peter Whittle chiarisce come potrebbe essere reso ancora più centrale.

Fondamentalmente è solo una questione di convenzione che i mezzi (medie) sono spesso anche espressi in modo piuttosto diverso, in particolare da singoli simboli, e specialmente quando tali mezzi devono essere calcolati dai dati. Tuttavia, Whittle nel libro appena citato usa una notazione A () per la media e le parentesi angolari attorno a variabili o espressioni da mediare sono comuni nella scienza fisica.

— Nick Cox
fonte