La geometria differenziale ha qualcosa a che fare con le statistiche?

Sto facendo master in statistica e mi viene consigliato di imparare la geometria differenziale. Sarei più felice di conoscere le applicazioni statistiche per la geometria differenziale poiché ciò mi renderebbe motivato. Qualcuno conosce applicazioni per la geometria differenziale nelle statistiche?

Due libri canonici sull'argomento, con recensioni, poi altri due riferimenti:

• Geometria differenziale e statistica , MK Murray, JW Rice

  Sin dall'introduzione da parte di Rao nel 1945 della metrica sull'informazione di Fisher su una famiglia di distribuzioni di probabilità, l'interesse degli statistici è stato interessato all'applicazione della geometria differenziale alle statistiche. Questo interesse è aumentato rapidamente negli ultimi due decenni con il lavoro di un gran numero di ricercatori. Fino ad ora un ostacolo alla diffusione di queste idee nella più ampia comunità di statistici è la mancanza di un testo adeguato che introduce il moderno approccio libero coordinato alla geometria differenziale in un modo accessibile agli statistici. Questo libro mira a colmare questa lacuna. Gli autori apportano al libro una vasta esperienza di ricerca nella geometria differenziale e nella sua applicazione alla statistica. Il libro inizia con lo studio delle più semplici varietà differenziali: gli spazi affini e la loro rilevanza per le famiglie esponenziali e passa alla teoria generale, alla metrica delle informazioni di Fisher, alla connessione di Amari e agli asintotici. Si conclude con la teoria dei fasci di vettori, fasci di principio e getti e la loro applicazione alla teoria delle stringhe - un argomento attualmente all'avanguardia della ricerca in statistica e geometria differenziale.

• Metodi di geometria dell'informazione , S.-I. Amari, H. Nagaoka

  La geometria dell'informazione fornisce alle scienze matematiche un nuovo quadro di analisi. È emerso dall'indagine della struttura geometrica differenziale naturale su molteplici distribuzioni di probabilità, che consiste in una metrica riemanniana definita dalle informazioni di Fisher e una famiglia di connessioni affine a un parametro chiamata -connections. La dualità tra -connection e ilα ( - α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-connection insieme alla metrica svolgono un ruolo essenziale in questa geometria. Questo tipo di dualità, essendo emerso da molteplici distribuzioni di probabilità, è onnipresente e appare in una varietà di problemi che potrebbero non avere alcuna relazione esplicita con la teoria della probabilità. Attraverso la dualità, è possibile analizzare vari problemi fondamentali in una prospettiva unificata. La prima metà di questo libro è dedicata a un'introduzione completa alle basi matematiche della geometria dell'informazione, inclusi i preliminari della geometria differenziale, la geometria delle varietà o delle distribuzioni di probabilità e la teoria generale delle connessioni affine doppie. La seconda metà del testo fornisce una panoramica di molte aree di applicazioni, come statistiche, sistemi lineari, teoria dell'informazione, meccanica quantistica, analisi convessa, reti neurali, e geometria differenziale affine. Il libro può servire come testo adatto per un corso di argomenti per studenti universitari e laureati avanzati.

• Geometria differenziale in inferenza statistica , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen e CR Rao, Appunti della conferenza IMS Monogr. Ser. Volume 10, 1987, 240 pagg.

• Il ruolo della geometria differenziale nella teoria statistica , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox e N. Reid, International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54, n. 1 (aprile 1986), pagg. 83-96

La geometria riemanniana viene utilizzata nello studio di campi casuali (una generalizzazione dei processi stocastici), in cui il processo non deve essere stazionario. Il riferimento che sto studiando è riportato di seguito con due recensioni. Esistono applicazioni in oceanografia, astrofisica e imaging cerebrale.

Campi e geometria casuali , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Recensioni:

"Lo sviluppo di buoni limiti per la distribuzione del suprema di un campo gaussiano , cioè per la quantità , è stato per un molto tempo sia un argomento di ricerca difficile che interessante. Una presentazione approfondita di questo problema è l'obiettivo principale del libro in esame, come affermato dagli autori nella sua prefazione. Gli autori sviluppano i loro risultati nel contesto di campi gaussiani lisci , dove il parametro spazi$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$sono varietà stratificate riemanniane e il loro approccio è di natura geometrica. Il libro è diviso in tre parti. La parte I è dedicata alla presentazione degli strumenti necessari dei processi e dei campi gaussiani. La parte II espone in modo conciso i prerequisiti richiesti di geometria integrale e differenziale. Infine, nella parte III, viene stabilito con precisione il nocciolo del libro, una formula per l'attesa della funzione caratteristica di Eulero di un set di escursioni e la sua approssimazione alla distribuzione dei massimi del campo. Il libro è scritto in uno stile informale, che offre una lettura molto piacevole. Ogni capitolo inizia con una presentazione delle questioni da affrontare e le note a piè di pagina, presenti in tutto il testo, servono come complemento indispensabile e molte volte come riferimenti storici.

"Questo libro presenta la moderna teoria delle probabilità di escursione e la geometria dei set di escursioni per ... campi casuali definiti su varietà ... ... Il libro è comprensibile per gli studenti ... con un buon background in analisi ... , la bellezza e la profondità della teoria matematica presentata la rendono una parte indispensabile di ogni biblioteca matematica e una libreria di tutti i probabilisti interessati ai processi gaussiani, ai campi casuali e alle loro applicazioni statistiche ". (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)

Un'area della statistica / matematica applicata in cui la geometria differenziale viene utilizzata in modo essenziale (insieme a molte altre aree della matematica!) È la teoria dei modelli . Puoi dare un'occhiata al libro di Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 o il testo un po 'più accessibile di David Mumford (vincitore di una medaglia per i campi non meno): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=15688XR_rd_QQ_rdrd = Liesy & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Dalla prefazione dell'ultimo testo:

Il termine "teoria dei modelli" è stato coniato da Ulf Grenander per distinguere il suo approccio all'analisi delle strutture modellate nel mondo dal "riconoscimento dei modelli". In questo libro, lo usiamo in un senso piuttosto ampio per includere i metodi statistici usati nell'analisi tutti i "segnali" generati dal mondo, siano essi immagini, suoni, testi scritti, stringhe di DNA o di proteine, treni di picchi nei neuroni o serie temporali di prezzi o condizioni meteorologiche; esempi di tutti questi compaiono sia nel libro di Elements of Pattern Theory [94] di Tedesco, sia nel lavoro dei nostri colleghi, collaboratori e studenti sulla teoria dei pattern.

Un esempio in cui viene utilizzata la geometria differenziale è per i modelli frontali.

Cercando di rispondere alla domanda (nei commenti) di @whuber, guarda il capitolo 16 del libro di Grenander, con il titolo "anatomia computazionale". Le varietà vengono utilizzate per rappresentare varie parti dell'anatomia umana (come il focolare) e i diffeomorismi utilizzati per rappresentare i cambiamenti di queste varietà anatomiche, consentendo il confronto, la modellizzazione della crescita, la modellizzazione dell'azione di alcune malattie. Queste idee possono essere ricondotte al monumentale trattato di D'Arcy Thompson "sulla crescita e sulla forma" del 1917!

Grenander continua citando quel trattato:

In una parte molto ampia della morfologia, il nostro compito essenziale risiede nel confronto delle forme correlate piuttosto che nella definizione precisa di ciascuna; e la deformazione di una figura complicata può essere un fenomeno di facile comprensione, sebbene la figura stessa debba essere lasciata non analizzata e indefinita. Questo processo di confronto, di riconoscere in una forma una permutazione definita o una deformazione di un'altra, a parte una comprensione precisa e adeguata del "tipo" originale o standard di confronto, si trova nella provincia immediata della matematica e trova la sua soluzione nella uso elementare di un certo metodo del matematico. Questo metodo è il metodo delle coordinate, su cui si basa la teoria delle trasformazioni.

L'esempio più noto di queste idee è quando un bambino è scomparso, diciamo tre anni fa, e uno pubblica alcune foto del suo volto, trasformato (di solito usando spline), in quello che potrebbe apparire oggi.