Formula dello stimatore di regressione quantile

Ho visto due diverse rappresentazioni dello stimatore della regressione quantile che sono

Q (β_{q}) = \sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (1 - q) | y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} |

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

Q (β_{q}) = Σ_{io = 1}^{n} ρ_{q} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}), ρ_{q} (u) = u_{io} (q - 1 (u_{io} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

dove . Qualcuno può dirmi come mostrare l'equivalenza di queste due espressioni? Ecco cosa ho provato finora, a partire dalla seconda espressione. $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

Ma da questo punto mi sono bloccato su come procedere. Per favore, non che questa non sia una domanda da fare o un compito. Grazie molto.

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = Σ_{io = 1}^{n} u_{io} (q - 1 (u_{io} < 0)) (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) \\ = Σ_{io = 1}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} < 0)) (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) \\ = [Σ_{io : y_{io} \geq X_{io}^{'} β}^{n} (q (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q})) + Σ_{io : y_{io} < X_{io}^{'} β}^{n} (q (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) - (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}))] (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$

proof quantile-regression equivalence

— Alexh
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Se ricordi, OLS minimizza la somma dei residui quadrati mentre la regressione mediana minimizza la somma dei residui assoluti . Lo stimatore delle deviazioni mediane o meno assolute (LAD) è un caso speciale di regressione quantile in cui hai . Nella regressione quantile minimizziamo una somma di errori assoluti che riceve pesi asimmetrici per iperpredizione e $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ per sottostima. Puoi iniziare dalla rappresentazione LAD ed estenderlo come somma della frazione dei dati che sono ponderati con e dato il loro valore di , e lavorare su di esso come segue: $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (u) & = 1 (u_{io} > 0) q | u_{io} | + 1 (u_{io} \leq 0) (1 - q) | u_{io} | \\ = 1 (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} > 0) q | y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} | + 1 (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} \leq 0) (1 - q) | y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} | \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = Σ_{io : y_{io} > X_{io}^{'} β_{q}}^{n} q | y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} | + Σ_{io : y_{io} \leq X_{io}^{'} β_{q}}^{n} (1 - q) | y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} | \\ = q Σ_{io : y_{io} > X_{io}^{'} β_{q}}^{n} | y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} | + (1 - q) Σ_{io : y_{io} \leq X_{io}^{'} β_{q}}^{n} | y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} | \\ = q Σ_{io : y_{io} > X_{io}^{'} β_{q}}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) - (1 - q) Σ_{io : y_{io} \leq X_{io}^{'} β_{q}}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) \\ = q Σ_{io : y_{io} > X_{io}^{'} β_{q}}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) - Σ_{io : y_{io} \leq X_{io}^{'} β_{q}}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) + q Σ_{io : y_{io} \leq X_{io}^{'} β_{q}}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) \\ = q Σ_{io = 1}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) - Σ_{io = 1}^{n} 1 (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q} \leq 0) (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) \\ = Σ_{io = 1}^{n} (q - 1 (u_{io} \leq 0)) u_{io} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

$y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q Σ_{io : y_{io} > X_{io}^{'} β_{q}}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) + q Σ_{io : y_{io} \leq X_{io}^{'} β_{q}}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q}) = Σ_{io = 1}^{n} (y_{io} - X_{io}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$

— Andy
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