Distribuzione del rapporto tra variabili casuali chi-quadro dipendenti

Supponiamo che dove sono indipendenti. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

La mia domanda è: cosa fa la distribuzione

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

Seguire? So da qui che il rapporto tra due variabili aleatorie chi-quadrate espresse come segue una distribuzione Beta. Credo che questo assume indipendenza trae. Nel mio caso, tuttavia, il denominatore dicontiene i componenti diquadrato. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Penso che anche debba seguire una variante della distribuzione Beta, ma non ne sono sicuro. E se questo assunto è corretto, non so come dimostrarlo. $Z$

— x0dros
fonte

Poiché la distribuzione del denominatore è invariante nelle rotazioni, è possibile ruotare

in modo che sia uguale a

X

$X$

, che riduce la tua domanda a qualcosa di familiare :-).

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

Sono abbastanza sicuro che @whuber significhi esattamente cosa è stato digitato lì. Quando dici "nominatore" intendi "numeratore"?

— Glen_b

Quando ruoti qualsiasi cosa (per definizione) ne preservi la lunghezza. Pertanto la varianza di qualsiasi versione ruotata di

deve essere uguale alla varianza di

, che è

: ecco dove

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

termina da.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber La tua risposta sembra davvero molto interessante ma ho dei dubbi al riguardo. Quando dici che posso ruotare

per diventare uguale a

X

$X$

, questo significa sostanzialmente che posso riscrivere il numeratore di

come

e di conseguenza,

stesso si trasforma in

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

. Ora, se presumo

e poiché

sono indipendenti, posso assumere che

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

ha unadistribuzione

e così via. Sto ottenendo il tuo punto fino ad ora? Quindi, ecco la mia confusione. Prima di usare il concetto di invarianza rotazionale e modifyi

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$

— SSAH

@ssah Errori nella tua applicazione del mio ragionamento: senza la

nel denominatore, la sua distribuzione non è più invariante alle rotazioni arbitrarie di

e quindi le conclusioni non valgono più.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Questo post elabora le risposte nei commenti alla domanda.

$X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

$\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

$X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

$U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

$\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

$(0,n)$

$100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Rsum(x)^2 / sum(x^2) $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
fonte