Analisi di sopravvivenza bayesiana: per favore, scrivimi un precedente per Kaplan Meier!

Considera le osservazioni censurate a destra, con eventi a volte . Il numero di individui sensibili al momento è e il numero di eventi al momento è . $t_1, t_2, \dots$ $i$ $n_i$ $i$ $d_i$

Kaplan-Meier o lo stimatore del prodotto emerge naturalmente come MLE quando la funzione di sopravvivenza è una funzione di passaggio . La probabilità è quindi e la SMV è $S(t) = \prod_{i : t_i < t} \alpha_i$

L (α) = \prod_{i} (1 - α_{i})^{d_{i}} α_{i}^{n_{i} - d_{i}}

$L(\alpha) = \prod_i (1-\alpha_i)^{d_i} \alpha_i^{n_i-d_i}$

{\hat{α}}_{i} = 1 - \frac{d_{i}}{n_{i}}

$\widehat\alpha_i = 1 - {d_i\over n_i}$

OK, ora supponiamo che io voglia andare bayesiano. Ho bisogno di una sorta di precedente `` naturale '' con il quale moltiplicherò , giusto? $L(\alpha)$

Cercando su Google le parole chiave ovvie ho scoperto che il processo di Dirichlet è un buon precedente. Ma per quanto ho capito, è anche un precedente sui punti di discontinuità ? $t_i$

Questo è sicuramente molto interessante e non vedo l'ora di conoscerlo, tuttavia mi accontenterei di qualcosa di più semplice. Comincio a sospettare che non sia così facile come pensavo inizialmente, ed è ora di chiedere il tuo consiglio ...

Molte grazie in anticipo!

PS: Qualche precisione su ciò che spero di essere interessato a (il più semplice possibile) spiegazioni sul modo di gestire il processo di Dirichlet in precedenza, tuttavia penso che dovrebbe essere possibile usare semplicemente un precedente su - cioè un precedente sullo step funziona con discontinuità in . $\alpha_i$ $t_i$

Credo che la "forma globale" delle funzioni a gradino campione nel precedente non dovrebbe variare a seconda della s' - dovrebbe esserci una famiglia di fondo di funzioni continue che sono approssimati da queste funzioni passo. $t_i$

Non so se l' dovrebbe essere indipendente (ne dubito). Se lo sono, penso che ciò implichi che il precedente dipende da e se indichiamo la sua distribuzione per allora il prodotto di una variabile da una variabile è una $\alpha_i$ $\alpha_i$ $\Delta t_i = t_i - t_{i-1}$ $A(\Delta t)$ $A(\Delta_1)$ $A(\Delta_2)$ $A(\Delta_1+\Delta_2)$ variabile. Sembra qui che log- variabili possono essere utili. $\Gamma$

Ma qui sostanzialmente sono bloccato. All'inizio non ho scritto questo perché non volevo dirigere tutte le risposte in questa direzione. Gradirei in particolare le risposte con riferimenti bibliografici per aiutarmi a giustificare la mia scelta finale.

bayesian survival kaplan-meier

— Elvis
fonte

Nel

{\hat{a}}_{i} = 1 - \frac{d_{i}}{m_{i}}

$\hat{a}_{i} = 1 - \frac{d_{i}}{m_{i}}$

m_{i}

$m_{i}$

n_{i}

$n_{i}$

n_{i}

$n_i$

Da questo scivolo ho trovato questo documento , l'autore del quale ha anche questa introduzione . Se quelli non saranno sufficienti come fonti, probabilmente lo faranno i loro riferimenti. Anche questo video sui processi gerarchici di Dirichlet.

— Sean Easter

Nota che capisco le caratterizzazioni di base di DP ma non riesco a usarlo concretamente come un precedente ... Inoltre, con quale misura di base ecc.

— Elvis

Quella funzione di probabilità è unica? O puoi ottenere KM da altre probabilità?

— probabilityislogic

Risposte:

$\alpha_i$ $d_i$ $d_i$

$p (\alpha_i)=1$ $0 <\alpha_i <1$ $p (\alpha_i)\sim beta (n_i-d_i+1, d_i+1)$ . Questo può essere facilmente simulato per generare la distribuzione posteriore della curva di sopravvivenza, usando rbeta ()ad esempio la funzione in R.

Penso che questo arrivi alla tua domanda principale su un metodo "più semplice". Di seguito sono solo gli inizi di un'idea per creare un modello migliore, che mantiene la forma KM flessibile per la funzione di sopravvivenza.

$t_i$ $\alpha$ $\alpha_i\approx \alpha_{i+1}$ $\eta_i=\log\left (\frac {\alpha_i}{1-\alpha_i}\right)$ $\eta$ $-\tau(\eta_i -\eta_{i-1})^2$ $n_i, d_i$ $i$ $( t_0,t_1)$ $(t_{00}, t_{01}, t_{02}, t_{10})$ $n_{02}, n_{10}, d_{01}, d_{02}, d_{10}$ $n_1=n_{01}$ $d_1=d_{01}+d_{02}+d_{10}$

Spero che questo ti dia un inizio.

— probabilityislogic
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α_{i}

$\alpha_i$

Per i lettori che affrontano il problema di andare in bayesiano per stimare le funzioni di sopravvivenza accettando la corretta censura, raccomanderei l'approccio bayesiano non parametrico sviluppato da F Mangili, A Benavoli et al. L'unica specifica precedente è un parametro (precisione o resistenza). Evita la necessità di specificare il processo Dirichlet in caso di mancanza di informazioni preliminari. Gli autori propongono (1) - un solido stimatore delle curve di sopravvivenza e dei suoi intervalli credibili per la probabilità di sopravvivenza (2) - Un test sulla differenza di sopravvivenza degli individui di 2 popolazioni indipendenti che presenta vari benefici rispetto al classico test del registro o altri test non parametrici. Vedi il pacchetto R IDPsurvival e questo riferimento: analisi di sopravvivenza affidabile basata sul processo di Dirichlet. F Mangili et al. Diario biometrico. 2014.

— Pascal
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