Spiegazione intuitiva del contributo alla somma di due variabili casuali normalmente distribuite

Se ho due variabili casuali indipendenti distribuite normalmente $X$ e $Y$ con medie $\mu_X$ e $\mu_Y$ e deviazioni standard $\sigma_X$ e $\sigma_Y$ e scopro che $X+Y=c$ , allora (supponendo che non abbia commesso alcun errore) la distribuzione condizionale di $X$ e $Y$ dato $c$ sono anche normalmente distribuiti con mezzi

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

e deviazione standard

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

Non sorprende che le deviazioni standard condizionali siano le stesse di, dato $c$ , se uno sale l'altro deve scendere dello stesso importo. È interessante notare che la deviazione standard condizionale non dipende da . $c$

Quello che non riesco a farmi girare la testa sono i mezzi condizionati, in cui prendono una parte dell'eccesso proporzionale alle variazioni originali, non alle deviazioni standard originali. $(c - \mu_X - \mu_Y)$

$\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$ sarebbe più naturale. Qualcuno può dare una spiegazione intuitiva per questo?

Questo è stato provocato da una domanda Math.SE.

normal-distribution conditional-probability

— Henry
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$\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

$X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Segue immediatamente che il modalità delle distribuzioni condizionate (e quindi anche i mezzi) sono determinate dal rapporto delle varianze, non delle SD.

$X$ $Y$

— whuber
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È davvero impressionante e piuttosto più completo di quanto avessi chiesto. Sarei stato soddisfatto del diagramma e di un'affermazione secondo cui la tangente all'ellisse non passa attraverso il centro dell'ellisse, quindi il punto rosso tangente deve prendere sproporzionatamente di più dalla variabile casuale con una deviazione standard più elevata.

— Henry,

Non è stato ben formulato. Ciò che intendevo era che la linea dal centro al punto rosso non era perpendicolare alla tangente.

— Henry,