Come mantenere le variabili invarianti di tempo in un modello a effetti fissi

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Ho dati sui dipendenti di una grande azienda italiana da oltre dieci anni e vorrei vedere come il divario di genere nei guadagni uomo-donna è cambiato nel tempo. A questo scopo corro OLS pooled:

y_{io t} = X_{io t}^{'} β + δ {m un' l e}_{io} + Σ_{t = 1}^{10} γ_{t} d_{t} + ε_{io t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$ dove

y

$y$ è guadagni registro all'anno,

X_{i t}

$X_{it}$ include covariate che differiscono per individuo e tempo,

d_{t}

$d_t$ sono anni manichini e

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$ è uguale a uno se un lavoratore è di sesso maschile ed è zero altrimenti.

Ora ho la preoccupazione che alcune covariate possano essere forse correlate ad effetti fissi non osservati. Ma quando uso lo stimatore di effetti fissi (entro) o le prime differenze, perdo il manichino di genere perché questa variabile non cambia nel tempo. Non voglio usare lo stimatore degli effetti casuali perché sento spesso persone dire che pone ipotesi che sono molto irrealistiche e che è improbabile che sostengano.

Esistono modi per mantenere il manichino di genere e controllare gli effetti fissi allo stesso tempo? Se esiste un modo, devo raggruppare o occuparmi di altri problemi con gli errori per i test di ipotesi sulla variabile di genere?

— user42263
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Ci sono alcuni modi potenziali per mantenere il manichino di genere in una regressione ad effetti fissi.

All'interno dello stimatore
Supponiamo di avere un modello simile rispetto al modello OLS in pool che è dove le variabili sono come prima. Ora si noti che e non possono essere identificati perché lo stimatore interno non può distinguerli dall'effetto fisso . Dato che è l'intercettazione per l'anno base , è l'effetto di genere sui guadagni in questo periodo. Quello che possiamo identificare in questo caso sono

y_{io t} = β_{1} + Σ_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m un' l e_{io}) + Σ_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m un' l e_{io}) + X_{io t}^{'} θ + c_{io} + ε_{io t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$

c_{i}

$c_i$

β_{1}

$\beta_1$

t = 1

$t=1$

γ_{1}

$\gamma_1$

perché interagiscono con i tuoi manichini temporali e misurano le differenze negli effetti parziali della tua variabile di genere rispetto al primo periodo di tempo. Questo significa che se si osserva un aumento del vostro

nel tempo è un'indicazione per un ampliamento del divario dei guadagni tra uomini e donne.

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$

Stima della prima differenza
Se vuoi conoscere l'effetto complessivo della differenza tra uomini e donne nel tempo, puoi provare il seguente modello: dove la variabile

y_{io t} = β_{1} + Σ_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ (t \cdot m un' l e_{io}) + X_{io t}^{'} θ + c_{io} + ε_{io t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

è interagito con il manichino di genere invariante nel tempo. Ora, se si prende differenze prime

e

drop out e si ottiene

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$

β_{1}

$\beta_1$

c_{i}

$c_i$

Quindi

y_{i t} - y_{i (t - 1)} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} (d_{t} - d_{(t - 1)}) + γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) + (X_{i t}^{'} - X_{i (t - 1)}^{'}) θ + ϵ_{i t} - ϵ_{i (t - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$

e puoi identificare la differenza di genere negli utili

. Quindi l'equazione di regressione finale sarà:

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$

γ

$\gamma$

e ottieni il tuo effetto di interesse. La cosa bella è che questo è facilmente implementabile in qualsiasi software statistico ma perdi un periodo di tempo.

Δ y_{io t} = Σ_{t = 3}^{10} β_{t} Δ d_{t} + γ (m un' l e_{io}) + Δ X_{io t}^{'} θ + Δ ε_{io t}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$

$c_i$ $1$ $c_i$ $2$

{\tilde{y}}_{io t} = {\tilde{X}}_{1 io t}^{'} + {\tilde{X}}_{2 io t}^{'} + γ ({\tilde{m un' l e}}_{io 2}) + {\tilde{c}}_{io} + {\tilde{ε}}_{io t}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$

2

$2$

c_{i}

$c_i$

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$

Tutto ciò potrebbe sembrare un po 'complicato ma ci sono pacchetti predefiniti per questo stimatore. Ad esempio, in Stata il comando corrispondente è xthtaylor. Per ulteriori informazioni su questo metodo è possibile leggere "Microeconometrics Using Stata" di Cameron e Trivedi (2009). Altrimenti puoi semplicemente attenerti ai due metodi precedenti che sono un po 'più facili.

Inferenza
Per i tuoi test di ipotesi non c'è molto che debba essere considerato diverso da quello che dovresti fare comunque in una regressione ad effetti fissi. È necessario prestare attenzione all'autocorrelazione degli errori, ad esempio raggruppando sulla singola variabile ID. Ciò consente una struttura di correlazione arbitraria tra i cluster (individui) che si occupa dell'autocorrelazione. Per un riferimento vedere di nuovo Cameron e Trivedi (2009).

— Andy
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Un altro potenziale modo per mantenere il manichino di genere è l' approccio di Mundlak (1978) per un modello a effetto fisso con variabili invarianti nel tempo. L'approccio di Mundlak supporterebbe che l'effetto di genere può essere proiettato sui mezzi del gruppo delle variabili variabili nel tempo.

Mundlak, Y. 1978: sul raggruppamento di serie storiche e dati di sezioni trasversali. Econometrica 46: 69-85.

— Emeryville
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Un altro metodo è stimare i coefficienti invarianti di tempo in un'equazione del secondo stadio, usando l'errore medio come variabile dipendente.

$\beta$ $\gamma_{t}$ $\hat{u}_{it}$ come prima:

{\hat{u}}_{io t} \equiv y_{io t} - X_{io t} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

Il predittore lineare $\bar{u}_{i}$ è:

{\bar{u}}_{io} \equiv \frac{Σ_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{io}}{T} = \bar{y_{io t}} - {\bar{X}}_{io} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

Ora, considera la seguente equazione del secondo stadio:

{\bar{u}}_{io} = δ m un' l e_{io} + c_{io}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

Supponendo che il genere non sia correlato a fattori non osservati $c_{i}$ . Quindi, lo stimatore OLS di $\delta$ è imparziale e coerente nel tempo (questo è, è coerente quando $T \rightarrow \infty$ ).

Per provare quanto sopra, sostituire il modello originale nello stimatore $\bar{u}_{i}$ :

{\bar{u}}_{io} = {\bar{X}}_{io} β - {\bar{X}}_{io} \hat{β} + δ m un' l e_{io} + c_{io} + \frac{Σ_{t = 1}^{T} ε_{io t}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

L'aspettativa di questo stimatore è:

E ({\bar{u}}_{io}) = {\bar{X}}_{io} β - {\bar{X}}_{io} E (\hat{β}) + δ m un' l e_{io} + E (c_{io}) + \frac{Σ_{t = 1}^{T} E (ε_{io t})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

Se i presupposti per la coerenza FE rimangono validi, $\hat{\beta}$ è uno stimatore imparziale di $\beta$ , e $E(\epsilon_{it}) = 0$ . Così:

E ({\bar{u}}_{io}) = δ m un' l e_{io} + E (c_{io})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

Questo è, il nostro predittore è uno stimatore imparziale delle componenti invarianti nel tempo del modello.

Per quanto riguarda la coerenza, il limite di probabilità di questo predittore è:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{io} = p lim_{T \to \infty} ({\bar{X}}_{io} β) - p lim_{T \to \infty} ({\bar{X}}_{io} \hat{β}) + p lim_{T \to \infty} δ m un' l e_{io} + p lim_{T \to \infty} c_{io} + p lim_{T \to \infty} (\frac{Σ_{t = 1}^{T} ε_{io t}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

Ancora una volta, dati i presupposti della FE, $\hat{\beta}$ è uno stimatore coerente di $\beta$ e il termine di errore converge nella sua media, che è zero. Perciò:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{io} = δ m un' l e_{io} + c_{io}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

Ancora una volta, il nostro predittore è uno stimatore coerente delle componenti invarianti nel tempo del modello.

— luchonacho
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Il dispositivo da camera Mundlak è uno strumento perfetto per questo. Di solito viene definito modello di effetti casuali correlati perché utilizza il modello di effetti casuali per stimare implicitamente gli effetti fissi per le variabili delle varianti temporali e allo stesso tempo stimare gli effetti casuali per le variabili invarianti nel tempo.

Tuttavia, nei software statistici, lo si implementa come il modello di effetti casuali ma è necessario aggiungere i mezzi di tutte le covariate varianti di tempo.

— Martin Paul
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