Qual è il rapporto tra distribuzione uniforme e normale?


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Lascia che segua una distribuzione uniforme e segua una distribuzione normale. Cosa si può dire di ? C'è una distribuzione per questo?XYXY

Ho trovato che il rapporto di due normali con zero medio è Cauchy.


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Per quello che vale, la distribuzione di è chiamata distribuzione slash . Non so se il reciproco abbia un nome o una forma chiusa. Y/X
David J. Harris,

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E la classe più ampia a cui entrambi appartengono sembra essere la distribuzione dei rapporti !
Nick Stauner,

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@ DavidJ.Harris Proprio così; +1. Ho visto il taglio usato alcune volte negli studi di robustezza. Forse - come una barra rovesciata - dovrebbe essere chiamato " distribuzione barra rovesciata ". X/Y
Glen_b

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@rrpp Ti riferisci a un'uniforme standard o un'uniforme generale (a, b) ? Se quest'ultimo, allora dobbiamo sapere se un> 0 , un <0 ecc.Uniform(0,1)Uniform(a,b)a>0a<0
wolfies

1
grazie a tutti per le risposte. @wolfies X è Uniform(0,1) e Y ha media positiva
rrpp

Risposte:


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Lascia che la variabile casuale con pdf :f ( x )XUniform(a,b)f(x)

inserisci qui la descrizione dell'immagine

dove ho assunto (questo nidifica il caso standard ). [Si otterranno risultati diversi se si dice il parametro , ma la procedura è esattamente la stessa. ]Uniforme ( 0 , 1 ) a < 00<un'<BUniforme(0,1)un'<0

Inoltre, lascia e lascia con pdf :W = 1 / Y g ( w )Y~N(μ,σ2)W=1/Yg(w)

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Quindi, cerchiamo il pdf del prodotto , diciamo , che è dato da:h ( v )V=X*Wh(v)

inserisci qui la descrizione dell'immagine

dove sto usando la funzione di mathStaticaTransformProduct per automatizzare i nitty-gritties e dove Erfdenota la funzione Error: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

Tutto fatto.

Terreni

Ecco due grafici del pdf:

  • Trama 1: , , ... e ...σ = 1 b = 3 a = 0 , 1 , 2μ=0σ=1B=3un'=0,1,2

inserisci qui la descrizione dell'immagine

  • Trama 2: , , ,σ=1a=0b=1μ=0,12,1σ=1un'=0B=1

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Assegno Monte Carlo

Ecco un rapido controllo Monte Carlo del caso Plot 2, solo per assicurarsi che non si siano verificati errori: , , ,
σ=1a=0b=1μ=12σ=1un'=0B=1

inserisci qui la descrizione dell'immagine

La linea blu è il pdf empirico di Monte Carlo e la linea rossa tratteggiata è il pdf teorico sopra. Sembra a posto :)h(v)


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È possibile trovare la distribuzione di dai primi principi, dove e . Considera la funzione di probabilità cumulativa di : XU[0,1]YN(μ,σ2)ZZ=XYX~U[0,1]Y~N(μ,σ2)Z

FZ(z)=P(Zz)=P(XYz)

Considera i due casi e . Se , allora . Allo stesso modo se allora .Y < 0 Y > 0 XY>0Y<0Y>0Y < 0 XXYzXzYY<0XYzXzY

Ora sappiamo . Per trovare la probabilità di cui sopra, considerare i casi e .z > 0 z < 0-<Z<z>0z<0

Se , la probabilità può essere espressa come integrazione della distribuzione congiunta di nella regione mostrata di seguito. (usando le disuguaglianze)( X , Y )z>0(X,Y)

Regione di integrazione

Quindi dove è la funzione di ripartizione di .f Y ( y ) Y

FZ(z)=01X/zfY(y)dydX+01-0fY(y)dydX
fY(y)Y

Trova la funzione di distribuzione di differenziando quanto sopra. f Z ( z )Z

fZ(z)=ddz01[FY()-FY(Xz)]dX=01z[FY()-FY(Xz)]dX=01Xz2fY(Xz)dX=01X2πσz2exp(-(Xz-μ)22σ2)dX

L'integrale sopra può essere valutato usando la seguente sequenza di trasformazioni:

  1. Lascia cheu=Xz
  2. Lascia chev=u-μ
  3. Separare l'integrale risultante in due integrali, uno con solo in esponenziale e uno con moltiplicato per l'esponenziale.vv

Gli integrali risultanti possono essere semplificati per produrre

fZ(z)=σ2π[exp(-μ22σ2)-exp(-(1z-μ)22σ2)]+μ[Φ(1z-μσ)-Φ(-μσ)]

Qui è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Un risultato identico si ottiene per il caso .z < 0Φ(X)z<0

Questa risposta può essere verificata mediante simulazione. Il seguente script in R esegue questa attività.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Ecco alcuni grafici per la verifica:

  1. PerY~N(0,1) Verifica 1
  2. PerY~N(1,1) Verifica 2
  3. Pery~N(1,2) Verifica 3

Il undershooting della risposta teorica visto nei grafici intorno a è probabilmente a causa dell'intervallo limitato. Altrimenti la risposta teorica sembra seguire la densità simulata.z=0


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+1 Molto bello! Una derivazione dai principi di base è sempre soddisfacente e la grafica aiuta il lettore a comprendere immediatamente ciò che stai facendo.
whuber

2

Oltre al reciproco della distribuzione slash (o "backslash distribution" di @ Glen_b!), Una sorta di distribuzione del rapporto, non so nemmeno come chiamarla, ma simulerò una versione in R.
Dato che specifichi un positivo media di , userò in modo tale che nella maggior parte dei campioni di . Certo, esistono altre possibilità. Ad esempio, qualsiasi espande l'intervallo di oltre 1 e qualsiasi lo espande naturalmente in valori negativi. (Riduci le dimensioni per i computer lenti! O usa se sai come!)Y = N ( 7 , 1 ) min ( Y ) > 1 N 1 M Y < 1 XYY=N(7,1)min(Y)>1N1MY<1 Y<0XYY<0set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
runif

inserisci qui la descrizione dell'immagine


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le code estreme stanno aumentando la densità. La distribuzione è piuttosto come un Cauchy. (Per curiosità, perché non usarlo runif? Sembra più idiomatico e sembra anche più veloce)
Glen_b -Reinstate Monica

Perché a quanto pare non so ancora molto di R! :) Grazie per il consiglio!
Nick Stauner,

1
nessun problema. La differenza di velocità non è così grande, ma con 10 ^ 7 elementi, abbastanza da notare. Potresti trovare un istogramma che vale la pena guardare ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (circa il 96% della distribuzione sembra essere all'interno di quei limiti)
Glen_b -Reststate Monica

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Wow! Abbastanza sicuro. Ho paura che questi diagrammi di densità siano abbastanza fuorvianti! Modificherò in quell'istogramma ...
Nick Stauner il

1
Oh ok. Nessun problema. In questo caso, potresti voler ridurre nclass molto. Penso che idealmente le barre dovrebbero essere molto strette ma non solo linee nere.
Glen_b
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