Omoschedasticità condizionale vs eteroschedasticità

Da Econometrics , di Fumio Hayashi (Chpt 1):

Homoskedasticity incondizionato:

Il secondo momento dei termini di errore E (εᵢ²) è costante attraverso le osservazioni
La forma funzionale E (εᵢ² | xi) è costante attraverso le osservazioni

Homoskedasticity condizionale:

Viene eliminata la restrizione secondo cui il secondo momento dei termini di errore E (ε across²) è costante attraverso le osservazioni
- Quindi il secondo momento condizionale E (εᵢ² | xi) può differire attraverso le osservazioni attraverso la possibile dipendenza da xᵢ.

Quindi, la mia domanda:

In che modo l'omoschedasticità condizionale differisce dall'eteroschedasticità?

La mia comprensione è che c'è eteroschedasticità quando il secondo momento differisce tra le osservazioni (xᵢ).

— Alec
fonte

Forse questo sarà d'aiuto: www2.econ.iastate.edu/classes/econ674/falk/…

— whuber

C'è un piccolo problema nel fatto che la lezione dice "Pertanto, l'omoschedasticità condizionale implica un'omoschedasticità incondizionata" in contraddizione con il libro di Econometria. Sembrano condizionare cose diverse.

— Henry,

@Henry Dalla domanda attuale è difficile dire quali definizioni siano accurate e quali no - alcune sembrano non avere senso nel contesto del libro di testo. Alcuni chiarimenti sarebbero ben accetti.

— whuber

Inizierò citando semplicemente Hayashi per aiutare chiunque voglia commentare. Ho cercato di preservare la formattazione e i numeri di equazione originali.

Inizia citazione da Hayashi pagina 126, sezione 2.6:

Homoskedasticity condizionale contro incondizionato

L'ipotesi condizionale dell'omoschedasticità è:

\begin{aligned} (2.6.1) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$

E (ϵ_{i}^{2})

$E(\epsilon_i^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

Citazione finale.

\begin{aligned} (1.1.12) & E (ϵ_{i}^{2} | X) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, \dots, n) \\ (1.1.17) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, . \dots, n) . \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$

$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$ $i$ $E(\epsilon_i^2)$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $\mathbf x_i$

[Non ci sono ulteriori citazioni da Hayashi, solo la mia comprensione dopo questo punto.]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$ $\epsilon_i$ $\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$ ; Gli esempi 2.6 (pagina 127) lo illustrano. Forse risponde anche alla domanda della sovrapposizione tra omo ed eteroschedasticità: fornisce un esempio di omoschedasticità incondizionata e di eteroschedasticità condizionale.

Questi sono concetti confusi, soprattutto senza molta esperienza con aspettative / distribuzioni condizionate, ma si spera che questo aggiunga un po 'di chiarezza (e materiale di partenza per eventuali discussioni future).

— David M. Kaplan
fonte

Potrebbe aiutare a sintetizzare questi esempi qui per chiarire più completamente la distinzione tra questi concetti confusi.

— gung - Ripristina Monica