Numero atteso di rapporto tra nascita di ragazze e ragazzi

Mi sono imbattuto in una domanda nel test attitudinale del colloquio di lavoro per il pensiero critico. Va qualcosa del genere:

La Repubblica di Zorgan ha alcuni costumi molto strani. Le coppie desiderano solo avere figli femmine poiché solo le femmine possono ereditare la ricchezza della famiglia, quindi se hanno un figlio maschio continuano ad avere più figli fino a quando non hanno una femmina. Se hanno una ragazza, smettono di avere figli. Qual è il rapporto tra ragazze e ragazzi a Zorgania?

Non sono d'accordo con la risposta del modello fornita dall'autore della domanda, che è di circa 1: 1. La giustificazione era che ogni parto avrà sempre una probabilità del 50% di essere maschio o femmina.

Puoi convincermi con una risposta più matematica e vigorosa di $\text{E}[G]:\text{E}[B]$ se $G$ è il numero di ragazze e B è il numero di ragazzi nel paese?

Inizia senza figli

ripetere il passaggio

{

Ogni coppia che ha ancora figli ha un figlio. Metà delle coppie ha maschi e metà delle coppie ha femmine.

Quelle coppie che hanno femmine smettono di avere figli

}

Ad ogni passaggio ottieni un numero pari di maschi e femmine e il numero di coppie che hanno figli si riduce della metà (vale a dire quelli che hanno avuto femmine non avranno figli nel passaggio successivo)

Quindi, in qualsiasi momento hai un uguale numero di maschi e femmine e di passaggio in passo il numero di coppie che hanno figli diminuisce della metà. Man mano che vengono create più coppie, si ripresenta la stessa situazione e tutte le altre cose sono uguali, la popolazione conterrà lo stesso numero di maschi e femmine

Lascia che sia il numero di ragazzi in una famiglia. Non appena hanno una ragazza, si fermano, quindi$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

Se è la probabilità che un bambino sia un ragazzo e se i sessi sono indipendenti tra i bambini, la probabilità che una famiglia finisca per avere k ragazzi è P ( X = k ) = p k ⋅ ( 1 - p ) , cioè la probabilità di avere k ragazzi e poi avere una ragazza. Il numero atteso di ragazzi è E X = ∞ ∑ k = 0 k p k ⋅ ( 1 - p ) $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ Notando che ∞ ∑ k = 0 kpk= ∞ ∑ k = 0 (k+1)pk+1otteniamo ∞ ∑ k = 0 kpk- ∞ ∑ k = 0 $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ dove abbiamo usato∑ ∞ k = 0 pk=1/(1-p)quando0<p<1(vediserie geometriche). $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ $\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

Se , abbiamo che E X = 0.5 / 0.5 . Cioè, la famiglia media ha 1 figlio. Sappiamo già che tutte le famiglie hanno 1 ragazza, in modo che il rapporto sarà nel tempo anche per essere 1 / 1 = 1 .$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

La variabile casuale è nota come variabile casuale geometrica .$X$

Sommario

Il semplice modello secondo cui tutte le nascite hanno indipendentemente il 50% di possibilità di essere ragazze è irrealistico e, a quanto pare, eccezionale. Non appena consideriamo le conseguenze della variazione dei risultati tra la popolazione, la risposta è che il rapporto ragazza: ragazzo può essere qualsiasi valore non superiore a 1: 1. (In realtà probabilmente sarebbe ancora vicino a 1: 1, ma è una questione che deve essere determinata dall'analisi dei dati.)

Poiché queste due risposte contrastanti sono entrambe ottenute assumendo l'indipendenza statistica dei risultati di nascita, un appello all'indipendenza non è una spiegazione sufficiente. Sembra quindi che la variazione (nelle possibilità di nascite femminili) sia l'idea chiave alla base del paradosso.

introduzione

Un paradosso si verifica quando pensiamo di avere buone ragioni per credere a qualcosa, ma siamo confrontati con un argomento dall'aspetto solido al contrario.

Una soluzione soddisfacente a un paradosso ci aiuta a capire sia ciò che era giusto sia ciò che potrebbe essere stato sbagliato in entrambi gli argomenti. Come spesso accade nella probabilità e nelle statistiche, entrambi gli argomenti possono effettivamente essere validi: la risoluzione dipenderà dalle differenze tra ipotesi che sono implicitamente fatte. Il confronto di questi diversi presupposti può aiutarci a identificare quali aspetti della situazione portano a risposte diverse. Individuare questi aspetti, sostengo, è ciò che dovremmo valutare di più.

ipotesi

Come evidenziato da tutte le risposte inviate finora, è naturale supporre che nascite femminili verificano indipendente e con probabilità costante di . È noto che nessuno dei due presupposti è in realtà vero, ma sembrerebbe che lievi deviazioni da questi presupposti non dovrebbero influenzare molto la risposta. Lasciaci vedere. A tal fine, considera il seguente modello più generale e più realistico:$1/2$

1. In ogni famiglia la probabilità di una nascita femminile è una costante p i , indipendentemente dall'ordine di nascita.$i$$p_i$

2. In assenza di una regola di arresto, il numero previsto di nascite femminili nella popolazione dovrebbe essere vicino al numero previsto di nascite maschili.

3. Tutti i risultati di nascita sono (statisticamente) indipendenti.

Questo non è ancora un modello completamente realistica delle nascite umane, in cui il può variare con l'età dei genitori (in particolare la madre). Tuttavia, è sufficientemente realistico e flessibile fornire una risoluzione soddisfacente del paradosso che si applicherà anche a modelli più generali.$p_i$

Analisi

Sebbene sia interessante condurre un'analisi approfondita di questo modello, i punti principali diventano evidenti anche quando viene considerata una versione specifica, semplice (ma un po 'estrema). Supponiamo che la popolazione abbia famiglie N. In metà di questi la possibilità di una nascita femminile è 2 / 3 e l'altra metà la probabilità di una nascita femminile è 1 / 3 . Ciò soddisfa chiaramente la condizione (2): il numero previsto di nascite maschili e femminili è lo stesso.$2N$$2/3$$1/3$

Considera quelle prime famiglie. Cerchiamo di ragionare in termini di aspettative, comprendendo che i risultati effettivi saranno casuali e quindi varieranno leggermente dalle aspettative. (L'idea alla base della seguente analisi è stata trasmessa più brevemente e semplicemente nella risposta originale che appare alla fine di questo post.)$N$

Sia il numero previsto di nascite femminili in una popolazione di N con probabilità di nascita femminile costante p . Ovviamente questo è proporzionale a N e così può essere scritto f ( N , p ) = f ( p ) N . Allo stesso modo, sia m ( p ) N il numero previsto di nascite maschili.$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• Il primo famiglie producono una ragazza e di arresto. Le altre ( 1 - p ) famiglie N producono un ragazzo e continuano a generare figli. Finora sono p N ragazze e ( 1 - p ) N ragazzi.$pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• Le restanti famiglie N si trovano nella stessa posizione di prima:$(1-p)N$ l'assunto di indipendenza (3) implica che ciò che sperimenteranno in futuro non è influenzato dal fatto che il loro primogenito fosse un figlio. Pertanto, queste famiglie produrranno più ragazze e m ( p ) [ ( 1 - p ) N ] più ragazzi.$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

Sommando le ragazze totali e i ragazzi totali e confrontandoli con i valori assunti di e m ( p ) N si ottengono equazioni$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

con soluzioni

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

Il numero previsto di ragazze nelle prime famiglie, con p = 2 / 3 , è quindi f ( 2 / 3 ) N = N e il numero atteso di ragazzi è m ( 2 / 3 ) N = N / 2 .$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

La regola di arresto favorisce i ragazzi!

$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

Risoluzione

Se il tuo intuito è che fermarsi con la prima ragazza dovrebbe produrre più ragazzi nella popolazione, quindi hai ragione, come mostra questo esempio. Per essere corretti, tutto ciò che serve è che la probabilità di dare alla luce una ragazza varia (anche solo di poco) tra le famiglie.

La risposta "ufficiale", secondo cui il rapporto dovrebbe essere vicino a 1: 1, richiede diverse ipotesi non realistiche ed è sensibile a esse: suppone che non ci possano essere variazioni tra le famiglie e che tutte le nascite debbano essere indipendenti.

Commenti

L'idea chiave evidenziata da questa analisi è che la variazione all'interno della popolazione ha conseguenze importanti. L'indipendenza delle nascite - sebbene sia un'ipotesi semplificativa utilizzata per ogni analisi in questo thread - non risolve il paradosso, perché (a seconda delle altre ipotesi) è coerente sia con la risposta ufficiale che con il suo contrario.

$p_i$$p_i$$p_i$

Se sostituiamo il genere con un'altra espressione genetica, otteniamo una semplice spiegazione statistica della selezione naturale : una regola che limita in modo differenziale il numero di prole in base alla loro composizione genetica può alterare sistematicamente le proporzioni di quei geni nella generazione successiva. Quando il gene non è legato al sesso, anche un piccolo effetto verrà propagato in modo moltiplicativo attraverso le generazioni successive e potrà rapidamente ingrandirsi notevolmente.

---

Risposta originale

Ogni bambino ha un ordine di nascita: primogenito, secondogenito e così via.

Supponendo pari probabilità di nascite maschili e femminili e nessuna correlazione tra i sessi, la Legge debole dei grandi numeri afferma che ci sarà un rapporto 1: 1 tra femmine primogenite e maschi. Per lo stesso motivo ci sarà un rapporto 1: 1 tra femmine nate secondarie e maschi, e così via. Poiché questi rapporti sono costantemente 1: 1, anche il rapporto complessivo deve essere 1: 1, indipendentemente da quali siano le frequenze relative degli ordini di nascita nella popolazione.

La nascita di ogni bambino è un evento indipendente con P = 0,5 per un ragazzo e P = 0,5 per una ragazza. Gli altri dettagli (come le decisioni familiari) ti distraggono solo da questo fatto. La risposta, quindi, è che il rapporto è 1: 1 .

Per spiegarlo: immagina che invece di avere figli, stai lanciando una moneta giusta (P (teste) = 0,5) fino a ottenere una "testa". Diciamo che la Famiglia A lancia la moneta e ottiene la sequenza di [code, code, teste]. Quindi la famiglia B lancia la moneta e ottiene una croce. Ora, qual è la probabilità che il prossimo sarà diretto? Ancora 0,5 , perché è questo che significa indipendente . Se dovessi farlo con 1000 famiglie (il che significa che sono arrivate 1000 teste), il numero totale previsto di code è 1000, perché ogni lancio (evento) era completamente indipendente.

Alcune cose non sono indipendenti, come la sequenza all'interno di una famiglia: la probabilità della sequenza [teste, teste] è 0, non uguale a [code, code] (0,25). Ma dal momento che la domanda non si pone al riguardo, è irrilevante.

Immagina di lanciare una moneta giusta finché non osservi una testa. Quante code lanci?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

Il numero previsto di code può essere facilmente calcolato * pari a 1.

Il numero di teste è sempre 1.

* se questo non ti è chiaro, vedi 'schema di prova' qui

Le coppie con esattamente una ragazza e nessun ragazzo sono le più comuni

Il motivo per cui tutto questo funziona è perché la probabilità di uno scenario in cui ci sono più ragazze è molto più grande degli scenari in cui ci sono più ragazzi. E gli scenari in cui ci sono molti più ragazzi hanno probabilità molto basse. Il modo specifico in cui si risolve è illustrato di seguito

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Puoi praticamente vedere dove sta andando a questo punto, il totale delle ragazze e dei ragazzi si sommerà a uno.

Ragazze attese da una coppia${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{Limitare le soluzioni di wolfram}

Ogni nascita, qualunque sia la famiglia, ha una probabilità 50:50 di essere un maschio o una femmina

Tutto ciò ha un senso intrinseco perché (prova come potrebbero fare le coppie) non puoi controllare la probabilità che un parto specifico sia un maschio o una femmina. Non importa se un bambino nasce da una coppia senza figli o da una famiglia di cento ragazzi; la possibilità è 50:50, quindi se ogni singola nascita ha una probabilità 50:50, dovresti sempre avere metà maschi e metà femmine. E non importa come mescoli le nascite tra le famiglie; non influenzerai questo.

Funziona con ¹ regola qualsiasi

Perché a causa della probabilità 50:50 per qualsiasi nascita, il rapporto finirà come 1: 1 per qualsiasi (ragionevole ¹ ) regola che puoi trovare. Ad esempio, anche la seguente regola analoga funziona

Le coppie smettono di avere figli quando hanno una ragazza o due figli

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

In questo caso il totale dei bambini previsti viene calcolato più facilmente

Ragazze attese da una coppia${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
Ragazzi attesi da una coppia${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ Come ho detto, questo funziona per qualsiasi regola ragionevole che potrebbe esistere nel mondo reale. Una regola irragionevole sarebbe quella in cui i figli previsti per coppia erano infiniti. Ad esempio "I genitori smettono di avere figli solo quando hanno il doppio dei ragazzi rispetto alle ragazze", possiamo usare le stesse tecniche di cui sopra per mostrare che questa regola dà infiniti bambini:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Possiamo quindi trovare il numero di genitori con un numero finito di figli

Numero previsto di genitori con figli finiti${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{Limitare le soluzioni di wolfram}

Quindi da ciò possiamo stabilire che l'82% dei genitori avrebbe un numero infinito di figli; da un punto di vista urbanistico ciò probabilmente causerebbe difficoltà e dimostra che questa condizione non potrebbe esistere nel mondo reale.

Puoi anche usare la simulazione:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

La mappatura di questo mi ha aiutato a vedere meglio come il rapporto tra la popolazione alla nascita (presumibilmente 1: 1) e il rapporto tra la popolazione dei bambini sarebbe entrambi 1: 1. Mentre alcune famiglie avrebbero più ragazzi ma solo una ragazza, il che inizialmente mi ha portato a pensare che ci sarebbero stati più ragazzi che ragazze, il numero di quelle famiglie non sarebbe superiore al 50% e diminuirebbe della metà con ogni bambino aggiuntivo, mentre il il numero di famiglie con una sola ragazza sarebbe del 50%. Il numero di ragazzi e ragazze si bilancerebbe così a vicenda. Vedi i totali di 175 in fondo.

Quello che hai ottenuto è stata la risposta più semplice e corretta. Se la probabilità che un neonato sia un maschio è p, e i bambini del genere sbagliato non sono accolti da incidenti sfortunati, non importa se i genitori prendono decisioni sull'avere più figli in base al sesso del bambino. Se il numero di bambini è N e N è grande, puoi aspettarti dei ragazzi p * N. Non è necessario un calcolo più complicato.

Vi sono certamente altre domande, come "qual è la probabilità che il figlio minore di una famiglia con figli sia un maschio", o "qual è la probabilità che il figlio maggiore di una famiglia con figli sia un maschio". (Uno di questi ha una semplice risposta corretta, l'altro ha una semplice risposta sbagliata e ottenere una risposta corretta è difficile).

Permettere

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

essere lo spazio campione e lasciare

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

$\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$

In sostanza, il valore atteso delle ragazze è 1. Quindi anche il rapporto è 1.

È una domanda trabocchetto. Il rapporto rimane lo stesso (1: 1). La risposta giusta è che non influisce sul rapporto di natalità, ma influisce sul numero di figli per famiglia con un fattore limitante di una media di 2 nascite per famiglia.

Questo è il tipo di domanda che potresti trovare in un test logico. La risposta non riguarda il rapporto di natalità. Questa è una distrazione.

Questa non è una domanda di probabilità, ma una domanda di ragionamento cognitivo. Anche se hai risposto al rapporto 1: 1, hai comunque fallito il test.

Sto mostrando il codice che ho scritto per una simulazione Monte Carlo (famiglie 500x1000) usando il software `MATLAB '. Esamina attentamente il codice in modo che non abbia commesso un errore.

Il risultato viene generato e tracciato di seguito. Mostra che la probabilità di nascita simulata della ragazza ha un ottimo accordo con la probabilità di nascita naturale sottostante indipendentemente dalla regola di arresto per un intervallo di probabilità di nascita naturale.

Giocando con il codice è più facile capire un punto che non ho mai fatto prima --- come altri sottolineano, la regola di arresto è una distrazione. La regola di arresto riguarda solo il numero di famiglie a cui è stata assegnata una popolazione fissa o, da un altro punto di vista, il numero di nascite di bambini dato un numero fisso di famiglie. Il genere è determinato esclusivamente dal lancio di dadi e quindi il rapporto o la probabilità (che è indipendente dal numero di bambini) dipenderà esclusivamente dal ragazzo naturale: la nascita della ragazza rato.

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

Lascia che la variabile casuale denoti il $i^{th}$$X_i$$0.5$ .

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$ è il numero di bambini nel paese.)

$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$ .

L'indipendenza delle nascite è irrilevante per il calcolo dei valori previsti.

---

La risposta di Apropos @ whuber, se c'è una variazione della probabilità marginale tra le famiglie, il rapporto si inclina verso i ragazzi, a causa del fatto che ci sono più bambini nelle famiglie con una maggiore probabilità di ragazzi rispetto alle famiglie con una probabilità inferiore, con un effetto aumentativo di la somma del valore atteso per i ragazzi.

Ho anche programmato indipendentemente una simulazione in MATLAB, prima di vedere cosa hanno fatto gli altri. A rigor di termini non è un MC perché eseguo l'esperimento solo una volta. Ma una volta è sufficiente per ottenere risultati. Ecco cosa produce la mia simulazione. Non prendo posizione sulla probabilità che le nascite siano p = 0,5 come primitive. Ho lasciato variare la probabilità di nascita in un intervallo di Pr (Ragazzi = 1) = 0,25: 0,05: 0,75.

I miei risultati mostrano che poiché la probabilità si discosta da p = 0,5, il rapporto tra i sessi è diverso da 1: in attesa il rapporto tra i sessi è semplicemente il rapporto tra la probabilità della nascita di un ragazzo e la probabilità della nascita di una ragazza. Cioè, questa è una variabile casuale geometrica identificata in precedenza da @ månst. Questo è ciò che credo che il poster originale fosse intuitivo.

I miei risultati imitano da vicino ciò che ha fatto il poster sopra con il codice matlab, abbinando i rapporti sessuali alle probabilità 0,45, 0,50 e 0,55 che un bambino è nato. Vi presento il mio mentre adotto un approccio leggermente diverso per ottenere i risultati con un codice più veloce. Per eseguire il confronto ho omesso la sezione di codice vec = vec (randperm (s, N)) poiché s non è definito nel loro codice e non conosco l'intenzione originale di questa variabile (anche questa sezione di codice sembra superflua - come originariamente ha dichiarato).

Pubblico il mio codice

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Il grafico seguente è previsto data la legge forte del gran numero. Lo riproduco, ma il grafico che conta è il secondo grafico.

Qui, una probabilità di popolazione diversa da 0,5 per la nascita di entrambi i sessi di un bambino altererà il rapporto tra i sessi nella popolazione generale. Supponendo che le nascite siano indipendenti (ma non la scelta di continuare a riprodursi), in ogni ciclo di riproduzione condizionale la probabilità della popolazione governa la composizione complessiva dei risultati delle nascite di maschi e femmine. Quindi, come altri hanno già detto, la regola di arresto nel problema è irrilevante per l'esito della popolazione, come ha risposto il poster che ha identificato questa come distribuzione geometrica.

Per completezza, ciò che influenza la regola di arresto è il numero di cicli di riproduzione nella popolazione. Poiché eseguo l'esperimento solo una volta, il grafico è un po 'frastagliato. Ma l'intuizione è lì: per una data dimensione della popolazione, con l'aumentare della probabilità della nascita di una ragazza vediamo che le famiglie hanno bisogno di meno cicli di riproduzione per ottenere la ragazza desiderata prima che l'intera popolazione smetta di riprodursi (ovviamente il numero di giri dipenderà dal dimensione della popolazione, dal momento che aumenta meccanicamente la probabilità che una famiglia abbia, ad esempio, 49 ragazzi prima di avere la loro prima ragazza)

Il confronto tra i miei rapporti sessuali calcolati:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

e quelli del poster precedente con il codice matlab:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Sono risultati equivalenti.

Dipende dal numero di famiglie.

$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

$N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$ è la funzione ipergeometrica.

${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$