Qual è la probabilità che un bookmaker stia valutando male le probabilità sui giochi di calcio?

Una squadra di calcio inglese gioca una serie di partite contro diversi avversari di varia abilità. Un bookmaker offre quote per ogni partita se si tratterà di una vittoria in casa, di una vittoria in trasferta o di un pareggio. Durante la stagione, la squadra ha giocato $n$ partite e ne ha pescate $k$ , il che è più di quanto ci si possa aspettare dalle probabilità.

Qual è la probabilità che il bookmaker stia valutando male le probabilità su queste partite, piuttosto che essere sfortunato? Se il bookmaker continua a valutare le partite rimanenti della squadra in modo simile e scommetto $\$1$ che ognuna sarà un pareggio, qual è il mio rendimento previsto?

La risposta alla tua domanda dipende in modo complesso dalle informazioni e dai presupposti che intendi utilizzare. Questo perché il risultato di un gioco è un processo straordinariamente complicato. Può diventare arbitrariamente complicato a seconda delle informazioni che hai su:

1. Giocatori in una particolare squadra - forse anche combinazioni particolari di giocatori possono essere rilevanti.
2. Giocatori in altre squadre
3. Storia passata della lega
4. Quanto sono stabili i giocatori della squadra: i giocatori continuano a essere selezionati e lasciati cadere, o è lo stesso 11.
5. Il tempo in cui effettui la scommessa (durante il gioco? Prima? Quanto prima? Quali informazioni si perdono dalle scommesse prima delle scommesse del giorno?)
6. qualche altra caratteristica rilevante del calcio che ho omesso.

Le probabilità che dà un bookmaker non riflettono le probabilità del bookmaker. che è impossibile se sono probabilità. Un bookmaker regola le probabilità quando qualcuno punta su un pareggio e le aggiusta quando qualcuno punta su un pareggio. Pertanto, le probabilità sono un riflesso delle probabilità dei giocatori d'azzardo (che usano quel bookmaker) nel loro insieme. Quindi non è il bookmaker a perdere i prezzi in sé, è il collettivo del gioco d'azzardo - o il "giocatore medio".

Ora, se sei disposto ad assumere che qualunque "meccanismo causale" stia causando un pareggio rimane costante per tutta la stagione (ragionevole? Probabilmente non ...), allora si ottiene un semplice problema matematico (ma nota che non c'è motivo per questo essere "più giusto" di qualche altra ipotesi semplificativa). Per ricordarci che questo è il presupposto che viene utilizzato, una verrà posta sul lato condizionante delle probabilità. Sotto questo presupposto si applica la distribuzione binomiale:$A$

$$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$$

E vogliamo calcolare quanto segue

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$$ $$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$$

dove

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$$

è il posteriore per . Ora in questo caso, è abbastanza ovvio che è possibile che si verifichi un pareggio e anche che non accada, quindi è appropriato un precedente uniforme (a meno che non ci siano informazioni aggiuntive che desideriamo includere oltre ai risultati della stagione ) e impostiamo . Il posteriore è quindi dato da una distribuzione beta (dove è la funzione beta )$\theta$$P(\theta|A)=1$$B(\alpha,\beta)$

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$$

Dato e la probabilità che la prossima partita sia un pareggio è solo quindi l'integrale diventa:$\theta$$A$$\theta$

$$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$$

e quindi la probabilità è solo:

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$$

Ma nota che dipende da - le ipotesi che sono state fatte. Chiamo il "odds priced" un condizionale probabilità su qualche altra informazioni complesse sconosciuta, dicono . Quindi, se le probabilità pubblicate sono diverse dalla frazione precedente, allora questo dice che e portano a conclusioni diverse, quindi entrambi non possono avere ragione sul "vero risultato" (ma entrambi possono essere correttamente condizionati alle ipotesi fatte da ciascuno ).$A$$B$$A$$B$

THE KILLER BLOW

Questo esempio ha mostrato che la risposta alla tua domanda si riduce a decidere se sia "più preciso" di nel descrivere la meccanica della partita di calcio. Questo avverrà indipendentemente da ciò che la proposizione sembra essere . Riduciamo sempre alla domanda di "di chi sono i presupposti giusti, il collettivo del gioco d'azzardo o il mio?" Quest'ultima domanda è sostanzialmente una domanda senza risposta fino a quando non si conosce esattamente in cosa consiste la proposizione (o almeno alcune delle sue caratteristiche principali). Come puoi confrontare qualcosa che è noto con qualcosa che non lo è?$A$$B$ $A$ $B$

AGGIORNAMENTO: una risposta effettiva :)

Come ha sottolineato sfacciatamente @whuber, in realtà non ho dato un valore atteso qui - quindi questa parte completa semplicemente quella parte della mia risposta. Se si dovesse presumere che sia vero con probabilità quotate di , allora ci si aspetterebbe che nel gioco successivo riceva $A$ $Q$

$$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$$ $$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Ora, se supponi che il valore di sia basato sullo stesso modello del tuo, allora possiamo prevedere esattamente come cambierà in futuro. Supponiamo che fosse basato su un altro precedente a quello uniforme, diciamo , quindi la probabilità corrispondente è$Q$$Q$$Q$$Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

con ritorno atteso di

$$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

Ora se facciamo il "peso precedente" dove è la lunghezza della stagione (questo consentirà al "mancato prezzo" di continuare nel resto della stagione) e impostare il rendimento atteso a zero otteniamo:$\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$$N$

$$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$$

(NOTA: a meno che questo non sia il modello attuale, dipenderà da quando questo calcolo è stato fatto, poiché dipende da che varierà nel tempo). Ora siamo in grado di prevedere come verrà adattato in futuro, aggiungerà al denominatore per ogni partita e al numeratore se la partita fosse un pareggio. Quindi le probabilità previste dopo la prima partita sono:$\alpha_Q$$n,k,Q$$Q$$1$$1$

$$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$ $$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$$

Cioè le probabilità non cambieranno molto nel corso della stagione. Usando questa approssimazione, otteniamo il rendimento atteso per il resto della stagione come:

$$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Ma ricorda che questo si basa sul modello eccessivamente semplicistico di un pareggio (nota: questo non significa necessariamente che sarà un predittore "schifoso"). Non può esserci una risposta univoca alla tua domanda, perché non è stato specificato un modello e nessuna specifica informazione preventiva (ad es. Quante persone usano questo allibratore? Qual è il fatturato del allibratore? In che modo le mie scommesse influenzeranno le probabilità che costano?). L'unica cosa che è stata specificata sono i dati di una stagione e che per "alcuni modelli non specificati" le probabilità sono incompatibili con quelle implicite nel prezzo delle quote.

I bookmaker usano un overround in modo che non si preoccupino effettivamente del risultato perché vincono qualunque cosa. Ecco perché non incontri mai un allibratore povero. Se un bookmaker ha un prezzo errato, la tua capacità di realizzare profitti dipenderà dalle probabilità che il bookmaker stava offrendo e se i profitti generati avrebbero coperto i tempi perduti.