Perché errori non distribuiti normalmente compromettono la validità delle nostre dichiarazioni di significatività?

C'è un presupposto di normalità quando si tratta di considerare i modelli OLS e cioè che gli errori devono essere normalmente distribuiti. Ho navigato in Cross Validated e sembra che Y e X non debbano essere normali affinché gli errori siano normali. La mia domanda è: perché quando abbiamo errori non normalmente distribuiti, la validità delle nostre dichiarazioni di significato è compromessa? Perché gli intervalli di confidenza saranno troppo ampi o stretti?

perché quando abbiamo errori non normalmente distribuiti viene compromessa la validità delle nostre dichiarazioni di significatività? Perché gli intervalli di confidenza saranno troppo ampi o stretti?

Gli intervalli di confidenza si basano sul modo in cui il numeratore e il denominatore sono distribuiti in una statistica t.

Con dati normali il numeratore di una statistica t ha una distribuzione normale e la distribuzione del quadrato del denominatore (che è quindi una varianza) è un particolare multiplo di una distribuzione chi-quadrata. Quando anche il numeratore e il denominatore sono indipendenti (come nel caso dei dati normali, dato che le osservazioni stesse sono indipendenti), l'intera statistica ha una distribuzione t.

$\frac{\hat \beta - \beta}{s_{\hat\beta}}$$\beta$$t$

Se i dati provenissero da un'altra distribuzione, la statistica non avrebbe una distribuzione t. Ad esempio, se avesse una coda pesante, la distribuzione a t tenderebbe ad essere un po 'più leggera (le osservazioni esterne influiscono sul denominatore più che sul numeratore). Ecco un esempio In entrambi i casi, l'istogramma è per 10.000 regressioni:

$\beta=0$$(-2,2)$

Un intervallo t del 95% (che dovrebbe includere il 95% delle pendenze nel nostro campione) va da -2.048 a 2.048. Per i dati normali, in realtà includeva il 95,15% delle pendenze del campione 10000. Per i dati distorti include il 99,91%.