Qual è lo scopo delle funzioni caratteristiche?

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Spero che qualcuno possa spiegare, in parole povere, quale sia una funzione caratteristica e come venga utilizzata nella pratica. Ho letto che è la trasformata di Fourier del pdf, quindi credo di sapere cosa si tratta, ma ancora non capisco il suo scopo. Se qualcuno potesse fornire una descrizione intuitiva del suo scopo e forse un esempio di come viene generalmente utilizzato, sarebbe fantastico!

Solo un'ultima nota: ho visto la pagina di Wikipedia , ma apparentemente sono troppo denso per capire cosa sta succedendo. Quello che sto cercando è una spiegazione che qualcuno non immerso nelle meraviglie della teoria della probabilità, ad esempio uno scienziato informatico, potrebbe capire.

probability mathematical-statistics characteristic-function

— tacca
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Ai giorni nostri, le persone usavano le tabelle dei logaritmi per moltiplicare i numeri più velocemente. Perchè è questo? I logaritmi convertono la moltiplicazione in addizione, poiché . Quindi, al fine di moltiplicare due grandi numeri e , avete trovato loro logaritmi, ha aggiunto il logaritmi, , e poi alzò lo sguardo su un altro tavolo. $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ $a$ $b$ $z = \log(a) + \log(b)$ $\exp(z)$

Ora, le funzioni caratteristiche fanno una cosa simile per le distribuzioni di probabilità. Supponiamo che abbia una distribuzione e abbia una distribuzione , e e siano indipendenti. Quindi la distribuzione di è la convoluzione di e , $X$ $f$ $Y$ $g$ $X$ $Y$ $X+Y$ $f$ $g$ $f * g$ .

Ora la funzione caratteristica è un'analogia del "trucco della tabella del logaritmo" per la convoluzione, poiché se è la funzione caratteristica di , vale la seguente relazione: $\phi_f$ $f$

ϕ_{f} ϕ_{g} = ϕ_{f * g}

$\phi_f \phi_g = \phi_{f * g}$

Inoltre, come nel caso dei logaritmi, è facile trovare l'inverso della funzione caratteristica: dato dove è una densità sconosciuta, possiamo ottenere dalla trasformata inversa di Fourier di $\phi_h$ $h$ $h$ $\phi_h$ .

La funzione caratteristica converte la convoluzione in moltiplicazione per funzioni di densità allo stesso modo in cui i logaritmi convertono la moltiplicazione in somma per i numeri. Entrambe le trasformazioni convertono un'operazione relativamente complicata in un'operazione relativamente semplice.

— charles.y.zheng
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Altre voci degne di nota: (a) recupero dei momenti tramite differenziazione, (b) il fatto che tutte le distribuzioni hanno funzioni caratteristiche (rispetto alle funzioni generatrici di momenti), (c) la corrispondenza uno-a-uno (essenzialmente) tra le distribuzioni e le loro funzioni caratteristiche e (d) il fatto che molte distribuzioni relativamente comuni hanno funzioni caratteristiche note ma nessuna espressione nota per la densità (ad esempio, le distribuzioni stabili di Levy).

— cardinale il

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Buoni commenti, @cardinal. Ti preghiamo di considerare di trasformarli in una risposta effettiva.

— whuber

Per quelli di voi che capiscono questo argomento, è affatto correlato alle equazioni caratteristiche, come usato con le relazioni di ricorrenza (cioè nella matematica concreta di Knuth)? La mia ipotesi è che sono molto diversi e condividono solo la parola "caratteristica" per caso, ma ho pensato di chiedere.

— Wayne,

@Wayne dovresti pubblicare questo come una domanda. Penso che ci sia una stretta connessione: le funzioni caratteristiche derivano dalla trasformata di Fourier, che è la trasformazione di Gelfand relativa alle distribuzioni sulla linea reale. L'equazione caratteristica di una relazione di ricorrenza sembra derivare dalla funzione generatrice di probabilità, che è la trasformazione di Gelfand associata ai numeri naturali. Le variabili nelle relazioni di ricorrenza possono essere considerate come prendere valori su passi temporali discreti, cioè numeri naturali.

— cantorhead,

@Wayne ... Quindi penso che l'operatore che prende una variabile in una relazione di ricorrenza con la sua equazione caratteristica possa essere pensato come la "Trasformata di Fourier" relativa alle distribuzioni sui numeri naturali. Ho cercato e non ho trovato questa domanda, ma sarei molto interessato a vedere le risposte se l'avessi pubblicato.

— cantorhead,

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@ charles.y.zheng e @cardinal hanno dato ottime risposte, aggiungerò i miei due centesimi. Sì, la funzione caratteristica potrebbe sembrare una complicazione non necessaria, ma è uno strumento potente che può ottenere risultati. Se si sta provando a provare qualcosa con la funzione di distribuzione cumulativa, è sempre consigliabile verificare se non è possibile ottenere il risultato con la funzione caratteristica. Questo a volte dà prove molto brevi.

Sebbene all'inizio la funzione caratteristica appaia un modo non intuitivo di lavorare con le distribuzioni di probabilità, ci sono alcuni risultati potenti direttamente correlati ad essa, il che implica che non è possibile scartare questo concetto come un semplice divertimento matematico. Ad esempio, il mio risultato preferito nella teoria della probabilità è che qualsiasi distribuzione infinitamente divisibile ha la rappresentazione unica di Lévy – Khintchine . In combinazione con il fatto che le distribuzioni infinitamente divisibili sono l'unica distribuzione possibile per limiti di somme di variabili casuali indipendenti (esclusi casi bizzarri), questo è un risultato profondo che utilizza il teorema limite centrale derivato.

— mpiktas
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Lo scopo delle funzioni caratteristiche è che possono essere utilizzate per derivare le proprietà delle distribuzioni nella teoria della probabilità. Se non si è interessati a tali derivazioni, non è necessario conoscere le funzioni caratteristiche.

— una fermata
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Suppongo che potrei essere interessato a tali derivazioni - semplicemente non capisco perché dobbiamo andare alla funzione caratteristica? Perché è più facile che trattare direttamente con il pdf / cdf?

— Nick,

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ℏ

$\hbar$

Non abbiamo bisogno di usarli. Ho detto solo che possono essere usati. A volte danno una derivazione più rapida, a volte non aiutano affatto. Se una derivazione sia "più semplice" dipende da ciò che già conosci - se non conosci già le funzioni caratteristiche non sarà più facile. In alcuni casi le funzioni di generazione del momento forniscono un'alternativa e hanno un'interpretazione più diretta.

— Onestop,

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La funzione caratteristica è la trasformata di Fourier della funzione di densità della distribuzione. Se hai qualche intuizione riguardo alle trasformazioni di Fourier, questo fatto potrebbe essere illuminante. La storia comune delle trasformazioni di Fourier è che descrivono la funzione "nello spazio delle frequenze". Dal momento che una densità di probabilità è di solito unimodale (almeno nel mondo reale o nei modelli realizzati sul mondo reale), questo non sembra terribilmente interessante.

— shabbychef
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Nota : un potenziale editor afferma che la "funzione caratteristica è la trasformata inversa di Fourier".

— gung - Ripristina Monica

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La trasformazione di Fourier è una decomposizione della funzione (non periodica) nelle sue frequenze. Interpretazione per densità?

La trasformazione di Fourier è la versione continua di una serie di Fourier poiché nessuna densità è periodica e nessuna espressione come "serie caratteristica".

— niko schmith
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