Quali sono gli svantaggi della probabilità del profilo?

Prendi in considerazione un vettore di parametri , con il parametro di interesse e un parametro di disturbo.θ 1 θ $(\theta_1, \theta_2)$$\theta_1$$\theta_2$

Se è la probabilità costruita dai dati , la probabilità del profilo per è definita come dove è l'MLE di per un valore fisso di .x θ 1 L P ( θ 1 ; x ) = L ( θ 1 , θ 2 ( θ 1 ) ; x ) θ 2 ( θ 1 ) θ 2 θ $L(\theta_1, \theta_2 ; x)$$x$$\theta_1$$L_P(\theta_1 ; x) = L(\theta_1, \hat{\theta}_2(\theta_1) ; x)$$\hat{\theta}_2(\theta_1)$$\theta_2$$\theta_1$

$\bullet$ Massimizzare la probabilità del profilo rispetto a porta alla stessa stima di quella ottenuta massimizzando la probabilità contemporaneamente rispetto a e .θ 1 θ 1 θ $\theta_1$$\hat{\theta}_1$$\theta_1$$\theta_2$

$\bullet$ Penso che la deviazione standard di possa anche essere stimata dalla seconda derivata della verosimiglianza del profilo.$\hat{\theta}_1$

$\bullet$ La statistica di probabilità per può essere scritta in termini di probabilità del profilo: .$H_0: \theta_1 = \theta_0$$LR = 2 \log( \tfrac{L_P(\hat{\theta}_1 ; x)}{L_P(\theta_0 ; x)})$

Quindi, sembra che la probabilità del profilo possa essere utilizzata esattamente come se fosse una vera probabilità. È davvero il caso? Quali sono gli svantaggi principali di questo approccio? E che dire della "voce" che lo stimatore ottenuto dalla probabilità del profilo è distorto (modifica: anche asintoticamente)?

La stima di dalla probabilità del profilo è solo l'MLE. Massimizzare rispetto a θ 2 per ogni possibile θ 1 e quindi massimizzare rispetto a θ 1 equivale a massimizzare rispetto a ( θ 1 , θ 2 ) congiuntamente.$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_1$$(\theta_1, \theta_2)$

La debolezza chiave è che, se si basa la stima della SE di θ 1 sulla curvatura del profilo probabilità, non sono completamente la contabilità per l'incertezza nella θ 2 .$\hat{\theta}_1$$\theta_2$

McCullagh e Nelder, modelli lineari generalizzati, 2a edizione , hanno una breve sezione sulla probabilità del profilo (Sec 7.2.4, pagg. 254-255). Dicono:

[A] set di confidenza pproximate possono essere ottenuti nel solito modo .... tali intervalli di confidenza sono spesso soddisfacenti se [la dimensione di ] è piccola rispetto alle informazioni totali di Fisher, ma possono essere fuorvianti altrimenti. .. Purtroppo [la verosimiglianza del log del profilo] non è una funzione di verosimiglianza nel solito senso. Più ovviamente, la sua derivata non ha media zero, una proprietà essenziale per la stima delle equazioni.$\theta_2$