Ho intenzione di insegnare a un piccolo gruppo di persone i sistemi di numerazione nell'informatica e mi chiedevo quanti bit per cifra ci sono nel sistema decimale, ad esempio:

• Esagonale (base 16) - 4 bit
• Ottale (base 8) - 3 bit
• Binario (base 2) - 1 bit
• Decimale (base 10) -?

Quello che stai cercando è il logaritmo basato su 2 di 10, che è un numero irrazionale di circa 3.32192809489 ....

Il fatto che non sia possibile utilizzare un numero intero di bit per una cifra decimale è la causa principale del perché molte frazioni che sono facili da esprimere nel sistema decimale (ad esempio 1/5 o 0,2), sono impossibili (non difficile: davvero impossibile) da esprimere in binario. Questo è importante quando si valutano errori di arrotondamento nell'aritmetica in virgola mobile.

In altre parole, quale quantità di informazioni è contenuta in una singola cifra in questi sistemi.

Per la base 2, base 4, base 8, base 16 e altre basi 2 ^N la risposta è ovvia perché in una base 2 ^N ogni cifra può essere espressa con esattamente N cifre.

Come si ottiene N dato 2 ^N ? Bene, usi un logaritmo basato su 2, che è un inverso di esponenziazione.

• log ₂ 2 = 1 (1 bit per cifra nella base 2)
• log ₂ 4 = 2 (2 bit per cifra nella base 4)
• log ₂ 8 = 3 (3 bit per cifra nella base 8)
• log ₂ 16 = 4 (4 bit per cifra nella base 16)

I logaritmi basati su K di numeri che non sono poteri di K non sono numeri cardinali. In particolare:

• log ₂ 10 = 3.321928094887362347870319429489390175864831393024580612054…

Questo numero può sembrare confuso, ma in realtà ha alcuni usi. Ad esempio, è un'entropia di una singola cifra decimale.

Nel tuo caso, tuttavia, non credo che questo valore sia di alcuna utilità. @La risposta di Christian fa un buon lavoro nel spiegare il perché.

In tema di bit:

Mi dispiace dire che la domanda è sbagliata. Non useresti bit in quel modo. Un bit è una cifra binaria . Puoi convertire il numero decimale 10, in un binario 1010 (8 + 2), quindi avresti bisogno di 4 bit per esprimere il valore decimale 10.

Poteri di 2

Sei caduto in un po 'di una trappola, usando binario (2), ottale (8) ed esadecimale (16) come esempi, perché questi sono tutti poteri di 2, e quindi puoi pensarli in termini di bit, mentre 10 non è una potenza di 2, quindi non funziona molto bene in questo modo.

BCD - Il decimale con codice binario utilizza 4 bit per cifra, lo stesso di esadecimale.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binary-coded_decimal

L'uso dei bit implica una potenza di 2, quindi, come altri hanno detto che non si può facilmente trasferire 10 bit in byte senza sprechi. Una soluzione comune è usare 4 bit come esadecimali e sprecare i 6 stati rappresentati come AF. La cosa interessante è fare matematica decimale con questo - non è pulito e semplice.

Un'utile idea di insegnamento potrebbe essere quella di confrontare il modo in cui Micky Mouse potrebbe aver sviluppato un sistema di conteggio, poiché ha solo 4 dita per mano, il che porta naturalmente a un sistema basato sull'ottale.

Questa potrebbe essere una semplificazione eccessiva, ma dipende dalla domanda che stai ponendo.
(e la risposta è sostanzialmente ottale o esadecimale)

Inoltre non considero i bit frazionari come bit perché nell'uso pratico i bit non hanno frazioni.

Q1: quanti bit puoi rappresentare in una cifra decimale ?

A1: è possibile rappresentare 3 bit di informazioni in una singola cifra decimale:

Lo schema più comune sarebbe binario dritto con wrapping dove 0 = 8 = 000 e 1 = 9 = 001. Ma potresti usare qualsiasi schema, non c'è nulla che dica che questo è l'unico modo per codificare i bit in cifre decimali.

• 0: 000
• 1: 001
• 2: 010
• 3: 011
• 4: 100
• 5: 101
• 6: 110
• 7: 111
• 8: 000 <- wrapping (o non utilizzato)
• 9: 001 <- wrapping (o non utilizzato)

o

Q2: quanti bit sono necessari per rappresentare una cifra decimale?

A2: sono necessari almeno 4 bit per rappresentare tutte le cifre decimali. Con qualche spreco o avvolgimento.

Ancora una volta lo schema più comune sarebbe direttamente binario con il wrapping ma potresti usare qualsiasi altro schema.

• 0: 0000
• 1: 0001
• 2: 0010
• 3: 0011
• 4: 0100
• 5: 0101
• 6: 0110
• 7: 0111
• 8: 1000
• 9: 1001
• 0: 1010 <- a capo (o non utilizzato)
• 1: 1011 <- a capo (o non utilizzato)
• 2: 1100 <- wrapping (o non utilizzato)
• 3: 1101 <- wrapping (o non utilizzato)
• 4: 1110 <- wrapping (o non utilizzato)
• 5: 1111 <- wrapping (o non utilizzato)

Nella base 1024, ogni simbolo è 10 bit. Tre cifre decimali hanno la stessa quantità di informazioni di una cifra nella base 1000, che è leggermente inferiore a 1024. Pertanto, una cifra decimale ha leggermente inferiore a 10/3 bit. Questa approssimazione dà 3.333333 ..., mentre il numero esatto è 3.321928 ...

• Esagonale (base 16) - 4 bit
• Ottale (base 8) - 3 bit
• Binario (base 2) - 1 bit
• Decimale (base 10) - 3 1/3 bit.
  2 ¹⁰ = 1.024
  10 ³ = 1.000
  2 ²⁰ = 1.048.576
  10 ⁶ = 1.000.000
  3 cifre nella base 10 fino a 999 possono essere mantenute in 10 bit nella base 2.
  6 cifre nella base 10 fino a 999.999 possono essere mantenute in 20 bit nella base 2.
  È nata l'idea di kilobyte, megabyte e gigabyte.
  

Disclaimer - Non sono un teorico dell'informazione, solo una scimmia di codice che lavora principalmente in C e C ++ (e quindi, con tipi a larghezza fissa), e la mia risposta sarà da quella prospettiva particolare.

Sono necessari in media 3,2 bit per rappresentare una singola cifra decimale: da 0 a 7 possono essere rappresentati in 3 bit, mentre 8 e 9 richiedono 4. (8*3 + 2*4)/10 == 3.2¹ .

Questo è meno utile di quanto sembri. Per prima cosa, ovviamente non hai frazioni di un po '. Per un altro, se stai usando tipi interi nativi (cioè, non BCD o BigInt), non stai memorizzando valori come una sequenza di cifre decimali (o loro equivalenti binari). Un tipo a 8 bit può memorizzare alcuni valori che richiedono fino a 3 cifre decimali, ma non è possibile rappresentare tutti i valori di 3 cifre decimali in 8 bit - l'intervallo è [0..255]. Non è possibile rappresentare i valori [256..999]in soli 8 bit.

Quando parliamo di valori , utilizzeremo i decimali se l'applicazione lo prevede (ad esempio, un'applicazione di digital banking). Quando parliamo di bit , di solito usiamo hex o binary (non uso quasi mai ottale poiché lavoro su sistemi che usano byte a 8 bit e parole a 32 bit, che non sono divisibili per 3).

I valori espressi in decimale non vengono mappati in modo pulito su sequenze binarie. Prendi il valore decimale 255. Gli equivalenti binari di ogni cifra sarebbe 010, 101, 101. Tuttavia, la rappresentazione binaria del valore 255è 11111111. Semplicemente non c'è corrispondenza tra nessuna delle cifre decimali nel valore alla sequenza binaria. Ma c'è una corrispondenza diretta con cifre esadecimali F == 1111, quindi quel valore può essere rappresentato come FFin esadecimale.

Se sei su un sistema in cui i byte a 9 bit e le parole a 36 bit sono la norma, allora ottale ha più senso poiché i bit si raggruppano naturalmente in tre.

Se lo insegnassi, spiegherei prima cosa significa un numero (espresso come una serie di cifre). cioè, da destra a sinistra, assumendo la base n, a * n ^ 0 + b * n ^ 1 + c * n ^ 2 ... z * n ^ y.

Quindi spiega che 10 ^ 3 è approssimativamente uguale a 2 ^ 10. Non è esatto ed è la ragione nei computer, spesso non sappiamo cosa significhi veramente 2k (sono 2.000 o 2.048?) Serve abbastanza bene per approssimazioni rapide. 2 ^ 16 è circa 2 ^ (16 - 10) * 1.000 o 2 ^ 6 (64) * 1.000 o 64.000. In realtà, è 65.536, ma se non ti dispiace essere fuori per circa un percento, funziona abbastanza bene per approssimazioni rapide.