Perché l'espressione exp (i * pi) restituisce il risultato sbagliato in GNU Octave?

Ho iniziato a studiare GNU Octave oggi e ho provato la prima espressione fornita nel manuale

exp(i*pi)

Il risultato è

ans = -1.0000e+000 + 1.2246e-016i

E sembra che anche la GNU Scientific Library dia risultati simili.

Quindi si tratta di un bug di Ottava o di problemi generali del software di analisi numerica (il software di valutazione simbolica fornirà sicuramente una risposta esatta)?

Questo non è un bug con nessuno dei due, ma a causa del modo in cui i computer eseguono operazioni in virgola mobile. C'è una quantità limitata di precisione con cui qualsiasi computer può operare, e quindi a volte vedrai anomalie come questa. Sebbene sia possibile scrivere software in grado di gestirlo, occorrerebbe molto più tempo di calcolo e aumenterebbe drasticamente i requisiti di memoria.

Se lo guardi, e ^ (i * pi) restituisce -1 + 1,2x10 ^ -16i. Come puoi vedere, la componente immaginaria è estremamente piccola (la maggior parte la considererebbe trascurabile, poiché è 16 ordini di grandezza più piccola della parte reale). Questo componente è introdotto da errori di arrotondamento e precisione, sia con il calcolo stesso, sia dal valore memorizzato di pi poiché è irrazionale (vedere questo collegamento per un altro esempio che tratta di numeri irrazionali).

Se questo errore di calcolo è inaccettabile, è necessario esaminare i pacchetti matematici che eseguono analisi simboliche anziché numeriche o che utilizzano numeri a virgola mobile ad alta precisione . Le avvertenze di questi sono che aumenteranno drasticamente i requisiti di memoria, e l'analisi simbolica è spesso molto più lenta. Inoltre, numeri di precisione più elevati riducono semplicemente l'entità degli errori di arrotondamento / precisione, non li eliminano.