Dal punto di vista legale, è necessario un passaporto valido o un documento di viaggio equivalente per attraversare qualsiasi confine di uno stato Schengen, sia esso un confine interno o esterno dell'area Schengen. Non riesco a trovare un elenco di documenti di viaggio equivalenti per la Francia, ma quello per l'Italia elenca solo alternative "esotiche": documenti per rifugiati, marittimi, ecc. (I cittadini di un paese dell'UE e pochi altri necessitano solo di una carta d'identità ).
In pratica, i confini all'interno dell'area Schengen non sono attrezzati per controlli sistematici e c'è un'alta probabilità che tu possa attraversare senza nemmeno accorgerti di aver superato il confine. Esistono (o esistevano) controlli occasionali per il traffico di droga sulla strada dai Paesi Bassi alla Francia; Dubito che sia un problema se tutto ciò che puoi mostrare è una patente di guida. È meglio se hai il permesso di soggiorno e una fotocopia del passaporto: con questi documenti, ci vorrebbe eccezionalmente per metterci nei guai.
Per quanto ne so, non vi è alcuna sanzione diretta per il mancato trasporto di un documento di identità in Francia. (Lo so per i cittadini; penso che sia vero anche per i non cittadini.) Esiste l'obbligo di poter dimostrare la propria identità su richiesta (tecnicamente, la richiesta deve essere giustificata, ma in pratica un agente di polizia può trova sempre un pretesto). Come cittadino straniero, dovresti anche dimostrare il tuo diritto di essere lì, altrimenti potresti essere detenuto ed espulso. Ancora una volta, con una prova di identità come una patente di guida, oltre a una copia del passaporto e del permesso di soggiorno, è molto improbabile che tu possa finire nei guai.
L'unica cosa che non puoi fare in modo affidabile senza passaporto è volare. Tutte le compagnie aeree commerciali richiedono un passaporto (o carta d'identità), anche per i voli interni Schengen. Spesso non controllano, ma se lo fanno, è probabile che non ti lascino salire a bordo se non hai la documentazione accettabile per loro.