Il limite chiave è di tre mesi. Non ha nulla a che fare con Schengen ma fa parte del diritto generale dell'UE. Pertanto, si applica anche al di fuori dell'area Schengen (vale a dire nel Regno Unito, in Irlanda, in Romania, in Bulgaria, a Cipro, in Croazia - e in Svizzera attraverso un accordo distinto attuato anche prima che il paese entrasse a far parte dell'area Schengen).
Anche nei paesi in cui non esiste una formalità speciale per registrarsi, i soggiorni superiori a 3 mesi non seguono le stesse regole. Hai un diritto molto forte di viaggiare per turismo e di rimanere per meno di 3 mesi, ma non hai il diritto incondizionato di soggiornare altrove nell'UE per più di 3 mesi (vedi questa risposta a un'altra domanda per la base giuridica di questa distinzione).
Nella maggior parte dei luoghi, non è necessario fare nulla per brevi soggiorni, ma anche se ti dà il diritto di visitare altri paesi, il diritto dell'UE non proibisce severamente i requisiti per segnalare la tua presenza, anche se non intendi diventare un residente. Europa.eu fornisce informazioni pratiche su questo, ma anche questo sito (basato sulle informazioni fornite dagli stessi Stati membri) è incompleto e talvolta vago, quindi è difficile sapere esattamente quali sono i requisiti paese per paese.
Si noti inoltre che la residenza è spesso definita dall'intento e da altri fattori come la posizione del "centro dei tuoi interessi" (reddito, proprietà, famiglia ...). Quindi la residenza non inizia necessariamente dopo che sono trascorsi i primi tre mesi né dipende esclusivamente dalla durata del soggiorno.
Ad esempio, se vendi la tua casa in Francia, trasferisci le tue cose in Germania e affitta un appartamento lì, ti verrà richiesto di registrarti entro una settimana o due dal trasloco nella tua nuova casa, anche se stai attento a non spendere mai più di tre mesi nel paese. D'altra parte, se hai una casa in Francia e soggiorni in un hotel in Germania per due mesi, probabilmente non sarai considerato un residente.
Se avessi fatto lo stesso il contrario (ovvero trasferisciti in Francia), non ti sarebbe richiesto di registrarti affatto (perché non è necessario in Francia in primo luogo) ma verrai comunque considerato residente dalla data in cui effettivamente entrato nel paese (e potrebbe ad esempio dover pagare le tasse in base a quello).