Risposte:
@rob ha ragione. GNOME è tecnicamente un progetto GNU ufficiale. Tuttavia, c'è molta storia interessante.
È il 1996. Non ci sono ambienti desktop. Utenti e amministratori di sistema assemblano ambienti da un mucchio di programmi. Diversi gestori di finestre, diverse applicazioni, forse un dock. Esistono due principali toolkit sul mercato: Qt e GTK +. Qt era in circolazione da un po 'di tempo ed era un prodotto commerciale di un'azienda chiamata Trolltech. Anche GTK + è in circolazione da un bel po '. Era vagamente associato all'FSF, poiché originariamente era stato scritto per l'uso in GIMP. C'erano più toolkit, come (ad esempio) Motif, ma ai fini di questa discussione, non ci interessa.
L'ambiente desktop Kool, noto anche come KDE, è stato creato nell'ottobre dello stesso anno in risposta al fatto che non esisteva un ambiente desktop unificato per i sistemi UNIX. (Il progetto KDE lasciò rapidamente cadere "Kool" a favore di una "K" indefinita. Era chiaramente una buona scelta.) Il creatore di KDE, Matthias Ettrich, scelse di usare Qt per il suo nuovo desktop. Questo è stato un grosso problema per la comunità del software libero. Significava che per usare il fantastico desktop gratuito che Matthias aveva creato, dovevano installare software proprietario - Qt.
La FSF ha risposto con non uno ma due progetti, entrambi lavorando in parallelo nel caso in cui uno non fosse andato in panico. Il primo era un progetto chiamato Harmony. Harmony doveva essere un clone di software libero con licenza LGPL e compatibile API di Qt. L'idea era che la comunità avrebbe mantenuto KDE, sostituendo semplicemente il bit proprietario.
Il progetto Harmony non ha mai funzionato. Lo sviluppo proseguì per circa 4 anni prima che Qt venisse concesso in licenza nel 2000 come software completamente gratuito (come definito da FSF), eliminando così la motivazione originale di Harmony. A causa sia del rilancio che del successo del secondo progetto, Harmony fu abbandonata.
Scommetto che hai indovinato quale fosse il secondo progetto ormai. Era GNOME.
Ho dato la storia sopra. Ora leghiamo tutto insieme in un bel nodo.
Quindi, per rispondere alla tua domanda: sì, esiste una relazione tra GNU e GNOME. GNOME è l'ambiente desktop ufficiale del progetto GNU ed è quindi un progetto GNU ufficiale e una parte del sistema operativo GNU. Storicamente, è stato creato da GNU in risposta alla dipendenza di KDE da Qt. In effetti, la G in GNOME sta per GNU. L'acronimo completo si espande in GNU Network Object Model Environment - questo si riferisce a una tecnologia che era stata pianificata ma mai implementata, poiché il progetto ha deciso che "non si adattava alla visione di base di GNOME".
Detto questo, GNOME è un grande progetto ora. Oggi GTK + è gestito dalle persone di GNOME, ad esempio, invece di essere un progetto indipendente. È sicuro dire che GNOME come entità è indipendente da GNU, anche se sono storicamente e tecnicamente correlate. GNOME ha una propria infrastruttura; la propria comunità; i suoi processi di governance.
Come nota a margine, questo è anche il motivo per cui GNOME e KDE sono rivali (amichevoli) al giorno d'oggi. È perché nel 1996, quando fu fondata KDE, GNOME fu creata con il preciso scopo di competere direttamente con KDE. E quella rivalità è persistita fino al presente.
Gnome è una parte ufficiale della raccolta di software libero GNU http://www.gnu.org/software/software.html