I computer digitali possono capire l'infinito?

Come essere umano, possiamo pensare all'infinito. In linea di principio, se abbiamo abbastanza risorse (tempo, ecc.), Possiamo contare infinitamente molte cose (incluso astratto, come numeri o reali).

Ad esempio, almeno, possiamo prendere in considerazione numeri interi. Possiamo pensare, principalmente, e "capire" infinitamente molti numeri che vengono visualizzati sullo schermo. Al giorno d'oggi, stiamo cercando di progettare l'intelligenza artificiale che sia capace almeno come essere umano. Tuttavia, sono bloccato con l'infinito. Cerco di trovare un modo come insegnare a un modello (in profondità o meno) a capire l'infinito. Definisco "comprensione" in un approccio funzionale. Ad esempio, se un computer è in grado di differenziare 10 numeri o cose diverse, significa che in qualche modo comprende veramente queste diverse cose. Questo è l'approccio semplice e diretto alla "comprensione".

Come ho detto prima, gli umani comprendono l'infinito perché sono in grado, almeno, di contare numeri interi infiniti, in linea di principio. Da questo punto di vista, se voglio creare un modello, il modello è in realtà una funzione in senso astratto, questo modello deve differenziare infinitamente molti numeri. Poiché i computer sono macchine digitali che hanno una capacità limitata di modellare una funzione così infinita, come posso creare un modello che differenzia infinitamente molti numeri interi?

Ad esempio, possiamo prendere un modello di visione di apprendimento profondo che riconosce i numeri sulla carta. Questo modello deve assegnare un numero a ciascuna carta diversa per differenziare ogni numero intero. Poiché esistono numeri infiniti di numeri interi, come può il modello assegnare un numero diverso a ciascun numero intero, come un essere umano, sui computer digitali? Se non riesce a differenziare le cose infinite, come capisce l'infinito?

Se tengo conto dei numeri reali, il problema diventa molto più difficile.

Qual è il punto che mi manca? Ci sono risorse che si concentrano sull'argomento?

Penso che questo sia un malinteso abbastanza comune sull'IA e sui computer, specialmente tra i laici. Ci sono diverse cose da decomprimere qui.

Supponiamo che ci sia qualcosa di speciale nell'infinito (o nei concetti continui) che li rende particolarmente difficili per l'IA. Perché questo sia vero, deve essere sia il caso che gli umani possano comprendere questi concetti mentre rimangono estranei alle macchine, sia che esistano altri concetti che non sono come l'infinito che sia gli umani che macchine possono capire. Ciò che mostrerò in questa risposta è che volere entrambe queste cose porta a una contraddizione.

La radice di questo malinteso è il problema di cosa significhi capire . Comprensione è un termine vago nella vita di tutti i giorni e quella natura vaga contribuisce a questo malinteso.

Se per capire, intendiamo che un computer ha l'esperienza cosciente di un concetto, allora siamo rapidamente intrappolati nella metafisica. C'è un lungo dibattito aperto e sostanzialmente aperto sul fatto che i computer possano "capire" qualcosa in questo senso, e anche a volte, se gli umani possano farlo! Potresti anche chiedere se un computer può "capire" che 2 + 2 = 4. Pertanto, se c'è qualcosa di speciale nella comprensione dell'infinito, non può essere correlato alla "comprensione" nel senso dell'esperienza soggettiva.

Quindi, supponiamo che da "capire", abbiamo in mente una definizione più specifica. Qualcosa che renderebbe un concetto come l'infinito più complicato per un computer da "comprendere" di un concetto come l'aritmetica. La nostra definizione più concreta di "comprensione" deve riguardare una capacità o abilità oggettivamente misurabili relative al concetto (altrimenti, siamo tornati nella terra dell'esperienza soggettiva). Consideriamo quale capacità o abilità potremmo scegliere che renderebbe l'infinito un concetto speciale, compreso dagli umani e non dalle macchine, a differenza, per così dire, dell'aritmetica.

Potremmo dire che un computer (o una persona) comprende un concetto se può fornire una definizione corretta di quel concetto. Tuttavia, se anche un essere umano comprende l'infinito con questa definizione, allora dovrebbe essere facile per loro scrivere la definizione. Una volta che la definizione è scritta, un programma per computer può emetterla. Ora anche il computer "capisce" l'infinito. Questa definizione non funziona per i nostri scopi.

Potremmo dire che un'entità comprende un concetto se può applicare il concetto correttamente. Ancora una volta, se anche una sola persona capisce come applicare correttamente il concetto di infinito, dobbiamo solo registrare le regole che stanno usando per ragionare sul concetto e possiamo scrivere un programma che riproduca il comportamento di questo sistema di regole. Infinity è in realtà molto ben caratterizzato come un concetto, catturato da idee come Aleph Numbers . Non è pratico codificare questi sistemi di regole in un computer, almeno fino al livello in cui qualsiasi essere umano li comprende. Pertanto, i computer possono "comprendere" l'infinito fino allo stesso livello di comprensione degli umani anche con questa definizione. Quindi questa definizione non funziona per i nostri scopi.

Potremmo dire che un'entità "capisce" un concetto se può logicamente collegare quel concetto a nuove idee arbitrarie. Questa è probabilmente la definizione più forte, ma dovremmo fare molta attenzione qui: pochissimi umani (in proporzione) hanno una profonda comprensione di un concetto come l'infinito. Ancora meno possono prontamente collegarlo a nuovi concetti arbitrari. Inoltre, algoritmi come il General Problem Solver possono, in linea di principio, derivare qualsiasi conseguenza logica da un dato corpus di fatti, dato il tempo sufficiente. Forse in base a questa definizione i computer comprendono l'infinito meglio della maggior parte degli umani e non vi è certamente motivo di supporre che i nostri algoritmi esistenti non miglioreranno ulteriormente questa capacità nel tempo. Anche questa definizione non sembra soddisfare i nostri requisiti.

Infine, potremmo dire che un'entità "capisce" un concetto se ne può generare esempi. Ad esempio, posso generare esempi di problemi nell'aritmetica e le loro soluzioni. In base a questa definizione, probabilmente non "capisco" l'infinito, perché non posso effettivamente indicare o creare qualcosa di concreto nel mondo reale che sia decisamente infinito. Non posso, ad esempio, effettivamente scrivere un elenco infinitamente lungo di numeri, solo formule che esprimono modi per creare elenchi sempre più lunghi investendo sempre più sforzi nel scriverli. Un computer dovrebbe essere almeno bravo quanto me in questo. Anche questa definizione non funziona.

Questo non è un elenco esaustivo di possibili definizioni di "capisce", ma abbiamo trattato "capisce" come lo capisco abbastanza bene. Sotto ogni definizione di comprensione, non c'è nulla di speciale sull'infinito che lo separa da altri concetti matematici.

Quindi il risultato è che, o decidi che un computer non "capisce" niente, o non c'è una ragione particolarmente buona per supporre che l'infinito sia più difficile da capire rispetto ad altri concetti logici. Se non siete d'accordo, è necessario fornire una definizione concreta di "comprensione" che fa la comprensione separata di infinito da altri concetti, e che non dipende da esperienze soggettive (a meno che non si vuole far valere i propri particolari visioni metafisiche sono universalmente corrette, ma questo è un argomento difficile da fare).

L'infinito ha una sorta di stato semi-mistico tra il pubblico laico, ma è proprio come qualsiasi altro sistema matematico di regole: se possiamo scrivere le regole con cui l'infinito opera, un computer può farle così come un umano o meglio).

Penso che la tua premessa sia difettosa.

Sembrate presumere che per "comprendere" (*) l'infinito richieda una capacità di elaborazione infinita e impliciate che gli umani abbiano proprio questo, dal momento che li presentate come l'opposto di computer limitati e limitati.

Ma gli umani hanno anche una capacità di elaborazione limitata. Siamo esseri costruiti con un numero finito di particelle elementari, formando un numero finito di atomi, formando un numero finito di cellule nervose. Se possiamo, in un modo o nell'altro, "capire" gli infiniti, allora possono anche essere costruiti computer finiti che possono farlo.

(* Ho usato "capire" tra virgolette, perché non voglio approfondire, ad esempio, la definizione di sensibilità ecc. Inoltre, non penso che sia importante riguardo a questa domanda.)

Come essere umano, possiamo pensare all'infinito. In linea di principio, se abbiamo abbastanza risorse (tempo, ecc.), Possiamo contare infinitamente molte cose (incluso astratto, come numeri o reali).

Qui, in realtà lo dici ad alta voce. "Con abbastanza risorse." Lo stesso non si applicherebbe ai computer?

Mentre gli umani possono , ad esempio, usare gli infiniti nel calcolo dei limiti, ecc. E possono pensare all'idea di qualcosa che diventa arbitrariamente più grande, possiamo farlo solo in astratto, non nel senso che è in grado di elaborare numeri arbitrariamente grandi. Le stesse regole che usiamo per la matematica potrebbero anche essere insegnate a un computer.

TL; DR : Le sottigliezze dell'infinito sono rese evidenti nella nozione di illimitata. La sconfinatezza è definibile in modo definitivo. Le "cose ​​infinite" sono in realtà cose con nature illimitate. L'infinito è meglio compreso non come una cosa ma come un concetto. Gli umani possiedono teoricamente capacità illimitate e non capacità infinite (ad es. Contare su qualsiasi numero arbitrario invece di "contare all'infinito"). Una macchina può essere fatta per riconoscere la sconfinatezza.

Di nuovo nella tana del coniglio

Come procedere? Cominciamo con "limiti".

limitazioni

Il nostro cervello non è infinito (per non credere in qualche metafisica). Quindi, non "pensiamo all'infinito". Pertanto, ciò che pretendiamo come infinito è meglio compreso come un concetto mentale finito con il quale possiamo "confrontare" altri concetti.

Inoltre, non possiamo "contare numeri interi infiniti". C'è un sottilmente qui che è molto importante sottolineare:

Il nostro concetto di quantità / numero è illimitato . Cioè, per qualsiasi valore finito abbiamo un modo finito / concreto o produciamo un altro valore che è strettamente più grande / più piccolo. Cioè, a tempo finito , potremmo contare solo importi finiti .

Non si può essere "dato il tempo infinito" per "contare tutti i numeri" questo implicherebbe una "finitura" che contraddice direttamente la nozione di infinito. A meno che tu non creda che gli umani abbiano proprietà metafisiche che permettano loro di incarnare "coerentemente" un paradosso. Inoltre come risponderesti: qual è stato l'ultimo numero che hai contato? Senza "ultimo numero" non c'è mai una "fine" e quindi mai una "fine" per il conteggio. Cioè non puoi mai "avere abbastanza" tempo / risorse per "contare all'infinito".

Penso che intendi dire che possiamo comprendere la nozione di biiezione tra insiemi infiniti. Ma questa nozione è una costruzione logica (cioè è un modo finito di litigare ciò che intendiamo essere infinito).

Tuttavia, ciò che stiamo realmente facendo è: all'interno dei nostri limiti stiamo parlando dei nostri limiti e, quando mai ne abbiamo bisogno, possiamo espandere i nostri limiti (di un importo limitato). E possiamo anche parlare della natura di espandere le nostre limiti. Così:

illimitatezza

Un processo / cosa / idea / oggetto è ritenuto illimitato se, data una certa misura della sua quantità / volume / esistenza, possiamo produrre in modo finito una "estensione" di quell'oggetto che ha una misura che riteniamo "più grande" (o "più piccola" nel caso di infinitesimi) rispetto alla misura precedente e che questo processo di estensione può essere applicato all'oggetto nascente (cioè il processo è ricorsivo).

Caso canonico numero uno: i numeri naturali

Inoltre, la nostra nozione di infinito impedisce qualsiasi "ateness" o "su-ness" all'infinito. Cioè, non si "mai" arriva all'infinito e non si "mai" ha "l'infinito". Piuttosto, si procede senza limiti.

Quindi, come possiamo concettualizzare l'infinito?

Infinito

Sembra che "infinito" come una parola sia frainteso nel senso che esiste una cosa che esiste chiamata "infinito" in contrapposizione a un concetto chiamato "infinito". Rompiamo gli atomi con la parola:

Infinito: illimitato o infinito nello spazio, estensione o dimensione; impossibile da misurare o calcolare.

in-: un prefisso di origine latina, corrispondente all'inglese non-, avente una forza negativa o privativa, liberamente usato come formativo inglese, in particolare di aggettivi e loro derivati ​​e di sostantivi (disattenzione; indifendibile; economico; inorganico; invariabile). ( fonte )

Finito: avere limiti o limiti.

Quindi l'infinità è in realtà un'infinità che non ha limiti o limiti . Ma possiamo essere più precisi qui perché siamo tutti d'accordo sul fatto che i numeri naturali sono infiniti, ma ogni dato numero naturale è finito. Quindi cosa dà? Semplice: i numeri naturali soddisfano il nostro criterio illimitato e quindi diciamo "i numeri naturali sono infiniti".

Cioè, "l'infinito" è un concetto. Un oggetto / cosa / idea è considerato infinito se possiede una proprietà / sfaccettatura che non ha limiti. Come prima abbiamo visto che la sconfinatezza è definibile in modo definitivo.

Pertanto, se l'agente di cui parli è stato programmato abbastanza bene da individuare il modello nei numeri sulle carte e che i numeri provengono tutti dallo stesso insieme, potrebbe dedurre la natura illimitata della sequenza e quindi definire l'insieme di tutti i numeri infinito - puramente perché l'insieme non ha limite superiore . Cioè, la progressione dei numeri naturali è illimitata e quindi sicuramente infinita.

Quindi, per me, l'infinito è meglio compreso come un concetto generale per identificare quando processi / cose / idee / oggetti possiedono una natura illimitata. Cioè, l'infinito non è indipendente dalla sconfinatezza. Prova a definire l'infinito senza confrontarlo con cose finite o i limiti di quelle cose finite.

Conclusione

Sembra fattibile che una macchina possa essere programmata per rappresentare e rilevare casi di sconfinatezza o quando potrebbe essere ammissibile assumere illimitata.

In Haskell puoi digitare:

print [1..]

e stamperà la sequenza infinita di numeri, iniziando con:

[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164,165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209,210,211,212,213,214,215,216,217,218,219,220,221,222,223,224,225,226,227,228,229,230,231,232,233,234,235,236,237,238,239,240,241,242,243,244,245,246,247,248,249,250,251,252,253,254,255,256,257,258,259,260,261,262,263,264,265,266,267,268,269,270,271,272,273,274,275,276,277,278,279,280,281,282,283,284,285,286,287,288,289,290,291,292,293,294,295,296,297,298,299,300,301,302,303,304,305,306,307,308,309,310,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,330,331,332,333,334,335,336,337,338,339,340,341,342,343,344,345,346,347,348,349,350,351,352,353,354,355,356,357,358,359,360,361,362,363,364,365,366,367,368,369,370,371,372,373,374,375,376,377,378,379,380,381,382,383,384,385,386,387,388,389,390,391,392,393,394,395,396,397,398,399,400,401,402,403,404,405,406,407,408,409,410,411,412,413,414,415,416,417,418,419,420,421,422,423,424,425,426,427,428,429,430,431,432,433,434,435,436,437,438,439,440,441,442,443,444,445,446,447,448,449,450,451,452,453,454,455,456,457,458,459,460,461,462,463,464,465,466,467,468,469,470,471,472,473,474,475,476,477,478,479,480,481,482,483,484,485,486,487,488,489,490,491,492,493,494,495,496,497,498,499,500,501,502,503,504,505,506,507,508,509,510,511,512,513,514,515,516,517,518,519,520,521,522,523,524,525,526,527,528,529,530,531,532,533,534,535,536,537,538,539,540,541,542,543,544,545,546,547,548,549,550,551,552,553,554,555,556,557,558,559,560,561,562,563,564,565,566,567,568,569,570,571,572,573,574,575,576,577,578,579,580,581,582,583,584,585,586,587,588,589,590,591,592,593,594,595,596,597,598,599,600,601,602,603,604,605,606,607,608,609,610,611,612,613,614,615,616,617,618,619,620,621,622,623,624,625,626,627,628,629,630,631,632,633,634,635,636,637,638,639,640,641,642,643,644,645,646,647,648,649,650,651,652,653,654,655,656,657,658,659,660,661,662,663,664,665,666,667,668,669,670,671,672,673,674,675,676,677,678,679,680,681,682,683,684,685,686,687,688,689,690,691,692,693,694,695,696,697,698,699,700,701,702,703,704,705,706,707,708,709,710,711,712,713,714,715,716,717,718,719,720,721,722,723,724,725,726,727,728,729,730,731,732,733,734,735,736,737,738,739,740,741,742,743,744,745,746,747,748,749,750,751,752,753,754,755,756,757,758,759,760,761,762,763,764,765,766,767,768,769,770,771,772,773,774,775,776,777,778,779,780,781,782,783,784,785,786,787,788,789,790,791,792,793,794,795,

Lo farà fino a quando la console non esaurisce la memoria.

Proviamo qualcosa di più interessante.

double x = x * 2
print (map double [1..])

Ed ecco l'inizio dell'output:

[2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100,102,104,106,108,110,112,114,116,118,120,122,124,126,128,130,132,134,136,138,140,142,144,146,148,150,152,154,156,158,160,162,164,166,168,170,172,174,176,178,180,182,184,186,188,190,192,194,196,198,200,202,204,206,208,210,212,214,216,218,220,222,224,226,228,230,232,234,236,238,240,242,244,246,248,250,252,254,256,258,260,262,264,266,268,270,272,274,276,278,280,282,284,286,288,290,292,294,296,298,300,302,304,306,308,310,312,314,316,318,320,322,324,326,328,330,332,334,336,338,340,342,344,346,348,350,352,354,356,358,360,362,364,366,368,370,372,374,376,378,380,382,384,386,388,390,392

Questi esempi mostrano un calcolo infinito. In effetti, è possibile mantenere infinite strutture di dati in Haskell, poiché Haskell ha il concetto di non rigidità : è possibile eseguire il calcolo su entità che non sono ancora state completamente calcolate. In altre parole, non è necessario calcolare completamente un'entità infinita per manipolare quell'entità in Haskell.

Reductio ad absurdum.

Credo che si possa dire che gli umani comprendano l'infinito almeno da Georg Cantor perché possiamo riconoscere diversi tipi di infiniti (principalmente numerabili contro innumerevoli) attraverso il concetto di cardinalità .

In particolare, un insieme è numerabile infinito se può essere mappato ai numeri naturali , vale a dire che esiste una corrispondenza 1 a 1 tra gli elementi di insiemi numerabili infiniti. L'insieme di tutti i reali è numerabile, così come l'insieme di tutte le combinazioni di numeri naturali, perché ci saranno sempre più combinazioni di numeri naturali dove n> 2, risultando in un insieme con una cardinalità maggiore. (Le prime prove formali per l'incountability possono essere trovate in Cantor, ed è argomento di Philosophy of Math .)

La comprensione dell'infinito implica la logica in contrapposizione all'aritmetica perché non possiamo esprimere, ad esempio, tutti i decimali di un numero trascendentale , usare solo approssimazioni. La logica è una capacità fondamentale di ciò che pensiamo come computer.

• $\pi$

"Infinito" è una definizione di infinito, con l'insieme dei numeri naturali come esempio (esiste un numero minimo, 1, ma nessun numero maggiore).

Intrattabilità contro infinito

Al di fuori del caso speciale dei loop infiniti, devo chiedermi se un'intelligenza artificiale sia più orientata all'intrattabilità computazionale rispetto all'infinito.

Si dice che un problema sia intrattabile se non c'è abbastanza tempo e spazio per rappresentarlo completamente, e questo può essere esteso a molti numeri reali.

$\pi$

L'intelligenza artificiale supponerebbe che un tale numero fosse infinito o semplicemente intrattabile? Quest'ultimo caso è concreto piuttosto che astratto - o può finire il calcolo o no.

Questo porta al problema di arresto .

• La prova di Turing che un algoritmo generale per risolvere il problema di arresto per tutte le possibili coppie di input del programma non può esistere potrebbe essere presa come un'indicazione che un algoritmo basato sul modello di calcolo di Turing-Church non può avere una perfetta comprensione dell'infinito.

Se sorgesse un modello computazionale alternativo in grado di risolvere il problema dell'arresto, si potrebbe sostenere che un algoritmo potrebbe avere una comprensione perfetta, o almeno dimostrare una comprensione paragonabile agli umani.

(C'è un riassunto in fondo per coloro che sono troppo pigri o hanno poco tempo per leggere il tutto.)

Purtroppo, per rispondere a questa domanda, decostruirò principalmente le varie premesse.

Come ho detto prima, gli umani comprendono l'infinito perché sono in grado, almeno, di contare numeri interi infiniti, in linea di principio.

Non sono d'accordo con la premessa che gli umani sarebbero effettivamente in grado di contare all'infinito. Per fare questo, ha detto che l'essere umano avrebbe bisogno di una quantità infinita di tempo, una quantità infinita di memoria (come una macchina di Turing) e, soprattutto, una quantità infinita di pazienza - nella mia esperienza la maggior parte degli umani si annoia prima ancora di contare fino a 1.000.

Parte del problema con questa premessa è che l'infinito non è in realtà un numero, è un concetto che esprime una quantità illimitata di "cose". Dette 'cose' possono essere qualsiasi cosa: numeri interi, secondi, lecca-lecca, il punto importante è il fatto che quelle cose non sono finite.

Vedi questa domanda SE pertinente per maggiori dettagli: /math/260876/what-exactly-is-infinity

Per dirla in altro modo: se ti chiedessi "quale numero viene prima dell'infinito?" quale sarebbe la tua risposta? Questo ipotetico superumano dovrebbe contare fino a quel numero prima di poter contare sull'infinito. E avrebbero bisogno di sapere il numero prima di quello, e quello prima di quello, e quello prima di quello ...

Speriamo che questo dimostri perché l'umano non sia in grado di contare fino all'infinito - poiché l'infinito non esiste alla fine della linea numerica, è il concetto che spiega che la linea numerica non ha fine. Né l'uomo né la macchina possono effettivamente contarlo, anche con tempo infinito e memoria infinita.

Ad esempio, se un computer può differenziare 10 numeri o cose diversi, significa che in qualche modo capisce davvero queste diverse cose.

Essere in grado di "differenziare" tra 10 cose diverse non implica la comprensione di quelle 10 cose.

Un noto esperimento mentale che mette in discussione l'idea di cosa significhi "capire" è l' esperimento della Sala cinese di John Searle :

Immagina un madrelingua inglese che non conosce cinese rinchiuso in una stanza piena di scatole di simboli cinesi (una base di dati) insieme a un libro di istruzioni per manipolare i simboli (il programma). Immagina che le persone fuori dalla stanza inviino altri simboli cinesi che, sconosciuti alla persona nella stanza, sono domande in cinese (input). E immagina che seguendo le istruzioni del programma l'uomo nella stanza sia in grado di distribuire simboli cinesi che sono risposte corrette alle domande (l'output). Il programma consente alla persona nella stanza di superare il test di Turing per comprendere il cinese ma non capisce una parola di cinese.

Il punto dell'argomentazione è questo: se l'uomo nella stanza non capisce il cinese sulla base dell'implementazione del programma appropriato per comprendere il cinese, allora nessun altro computer digitale si basa esclusivamente su quella base perché nessun computer, in quanto computer, ha qualcosa l'uomo non ha.

La cosa da togliere a questo esperimento è che la capacità di elaborare i simboli non implica che si capiscano realmente quei simboli. Molti computer elaborano i linguaggi naturali ogni giorno sotto forma di testo (caratteri codificati come numeri interi, in genere in una codifica basata su unicode come UTF-8), ma non comprendono necessariamente tali lingue. In modo più semplice In effetti tutti i computer sono in grado di aggiungere due numeri insieme, ma non capiscono necessariamente cosa stanno facendo.

In altre parole, anche nel "modello di visione dell'apprendimento profondo" il computer probabilmente non capisce i numeri (o "simboli") che viene mostrato, è solo la capacità dell'algoritmo di simulare l'intelligenza che gli consente di essere classificato come intelligenza artificiale .

Ad esempio, possiamo prendere un modello di visione di apprendimento profondo che riconosce i numeri sulla carta. Questo modello deve assegnare un numero a ciascuna carta diversa per differenziare ogni numero intero. Poiché esistono numeri infiniti di numeri interi, come può il modello assegnare un numero diverso a ciascun numero intero, come un essere umano, sui computer digitali? Se non riesce a differenziare le cose infinite, come capisce l'infinito?

Se dovessi eseguire lo stesso test delle carte su un essere umano e aumentare continuamente il numero di carte utilizzate, alla fine un essere umano non sarebbe in grado di tenerne traccia a causa della mancanza di memoria. Un computer avrebbe lo stesso problema, ma teoricamente potrebbe superare l'umano.

Quindi ora ti chiedo, un essere umano può davvero differenziare cose infinite? Personalmente sospetto che la risposta sia no, perché tutti gli umani hanno una memoria limitata, eppure concordo sul fatto che gli umani molto probabilmente possono capire l'infinito in una certa misura (alcuni possono farlo meglio di altri).

In quanto tale, penso alla domanda "Se non è in grado di differenziare le cose infinite, come può comprendere l'infinito?" ha una premessa imperfetta: essere in grado di differenziare le cose infinite non è un prerequisito per comprendere il concetto di infinito.

Sommario:

Essenzialmente la tua domanda dipende da cosa significhi "capire" qualcosa.

I computer possono certamente rappresentare l' infinito, la specifica IEEE in virgola mobile definisce sia l'infinito positivo che negativo e tutti i moderni processori sono in grado di elaborare punti in virgola mobile (sia hardware che software).

Se gli AI sono mai in grado di comprendere effettivamente le cose, teoricamente potrebbero essere in grado di comprendere il concetto di infinito, ma siamo molto lontani dalla possibilità di dimostrarlo definitivamente in entrambi i modi e dovremmo giungere a un consenso su cosa significa "capire" prima qualcosa.

Credo fermamente che i computer digitali non possano comprendere concetti come l'infinito, i numeri reali o, in generale, i concetti continui , in un modo simile a quello di Flatlanders non capiscono il mondo tridimensionale. Dai un'occhiata anche al libro Hyperspace: A Scientific Odyssey Through Parallel Universes, Time Warps, and the 10th Dimension (1994), di Michio Kaku, che tratta questi argomenti in modo più dettagliato. Naturalmente, in questa risposta, il concetto di comprensione non è definito rigorosamente, ma solo intuitivamente.

Quindi la premessa presuppone che gli umani "comprendano" l'infinito. Noi?

Penso che dovresti dirmi quale criterio useresti, se prima volessi sapere se "capisco" l'infinito.

Nel PO, l'idea è che potrei "dimostrare" di "comprendere" l'infinito, perché "In linea di principio, se abbiamo abbastanza risorse (tempo, ecc.), Possiamo contare infinitamente molte cose (inclusi abstract, come numeri, o vero)."

Bene, semplicemente non è vero. Peggio ancora, se fosse vero (cosa che non lo è), sarebbe altrettanto vero per un computer. Ecco perché:

1. Sì, in linea di principio puoi contare numeri interi e vedere che il conteggio non finisce mai.
2. Ma anche se avessi abbastanza risorse, non potresti mai "contare infinitamente molte cose". Ci sarebbe sempre di più. Ecco cosa significa "infinito".
3. Peggio ancora, ci sono più ordini ("cardinalità") di infinito. La maggior parte di loro, non puoi contare, anche con un tempo infinito, e forse nemmeno con infinite altre risorse. Sono in realtà innumerevoli. Non possono letteralmente essere mappati su una linea numerica o sull'insieme di numeri interi. Non puoi ordinarli in modo tale che possano essere contati, anche in linea di principio.
4. Ancora peggio, come fai a fare un po 'dove decidi "in linea di principio" cosa posso fare, quando chiaramente non posso mai farlo, o anche la più piccola parte di esso? Quel passo sembra assiduo stile laico, non vedendo i problemi nel farlo rigorosamente. Potrebbe non essere banale.
5. Infine, supponiamo che questo sia stato il tuo vero test, come nel PO. Quindi se potessi "in linea di principio con risorse sufficienti (tempo, ecc.) Contare infinitamente molte cose", basterebbe che tu decida che "ho capito" l'infinito (qualunque cosa significhi). Quindi potrebbe anche un computer con risorse sufficienti (RAM, tempo, algoritmo). Quindi il test stesso sarebbe soddisfatto banalmente da un computer se si dessero al computer gli stessi criteri.

Penso che forse una linea di logica più realistica sia che ciò che questa domanda mostra effettivamente, è che la maggior parte (probabilmente tutti?) In realtà non capisce l'infinito. Quindi comprendere l'infinito probabilmente non è una buona scelta di test / requisiti per l'IA.

Se ne dubiti, chiediti. Onestamente, veramente e seriamente, "capisci" cento trilioni di anni (la possibile vita di una stella nana rossa)? Tipo, puoi davvero capire com'è, vivendo cento trilioni di anni, o è solo un 1 con molti zeri? E un femtosecondo? O un intervallo di tempo di circa 10 ^ -42 secondi? Riesci davvero a "capirlo"? Un calendario rispetto al quale, uno dei tuoi battiti cardiaci, si confronta come uno dei tuoi battiti cardiaci rispetto a un miliardo di miliardi di volte la vita attuale di questo universo? Puoi davvero "capire l'infinito", te stesso? Vale la pena pensare a ......

Aggiungendo alcune regole per l'infinito in aritmetica (come l'infinito meno un grande numero finito è infinito, ecc.), Il computer digitale può sembrare comprendere la nozione di infinito.

In alternativa, il computer può semplicemente sostituire il numero n con il suo valore stella log . Quindi, può differenziare i numeri su una scala diversa e può apprendere che qualsiasi numero con valore stella log> 10 è praticamente equivalente all'infinito.

Penso che il concetto che manca nella discussione, finora, sia la rappresentazione simbolica. Noi umani rappresentiamo e comprendiamo simbolicamente molti concetti. Il concetto di Infinity ne è un ottimo esempio. Pi è un altro, insieme ad alcuni altri numeri irrazionali ben noti. Ce ne sono molti, molti altri.

Così com'è, possiamo facilmente rappresentare e presentare questi valori e concetti, sia agli altri umani che ai computer, usando simboli. Sia i computer che gli umani possono manipolare e ragionare con questi simboli. Ad esempio, i computer eseguono prove matematiche da alcuni decenni. Allo stesso modo, sono disponibili programmi commerciali e / o open source in grado di manipolare simbolicamente le equazioni per risolvere i problemi del mondo reale.

Quindi, come ha ragionato @JohnDoucette, non c'è nulla di così speciale su Infinity rispetto a molti altri concetti in matematica e aritmetica. Quando colpiamo quel muro di mattoni rappresentativo, definiamo semplicemente un simbolo che rappresenta "quello" e andiamo avanti.

Nota, il concetto di infinito ha molti usi pratici. Ogni volta che hai un rapporto e il denominatore "va a" zero, il valore dell'espressione "si avvicina" all'infinito. Questa non è una cosa rara, davvero. Quindi, mentre la tua persona media per strada non ha familiarità con queste idee, un sacco di scienziati, ingegneri, matematici e programmatori lo sono. È abbastanza comune che il software abbia gestito simbolicamente Infinity per un paio di decenni, almeno ora. Ad esempio Mathematica: http://mathworld.wolfram.com/Infinity.html

Una macchina di Turing è il principale modello matematico di calcolo dei moderni computer digitali. Una macchina di Turing è definita come un oggetto che manipola i simboli, secondo determinate regole (che rappresentano il programma che la macchina di Turing esegue), su un nastro infinito suddiviso in celle discrete. Pertanto, una macchina di Turing è un sistema di manipolazione di simboli che, dato un certo input, produce un certo output o non si ferma .

Se supponi che la comprensione sia equivalente alla manipolazione dei simboli , una macchina di Turing è in grado di comprendere molti concetti, anche se la difficoltà di comprendere ciascuno di questi concetti è variabile, rispetto al tempo e allo spazio. (La branca dell'informatica teorica (TCS) che studia la difficoltà di alcuni problemi computazionali è chiamata teoria della complessità computazionale . La branca della TCS che studia la computabilità di alcuni problemi è chiamata teoria della computabilità ).

Per comprendere il concetto di infinito , una macchina di Turing deve manipolare correttamente il simbolo dell'infinito in tutti i casi possibili. Una macchina di Turing non può rappresentare tutti i numeri reali perché l'insieme dei numeri reali non è numerabile. Senza perdita di generalità, supponiamo che il numero reale$\mathbb{r}$(ad esempio, la costante di Chaitin ) non può essere rappresentata (o calcolata) da una macchina di Turing, quindi$\mathbb{r}$non può mai essere manipolato da una macchina di Turing. Di conseguenza, ci sono casi in matematica in cui una macchina di Turing non può applicare il concetto di infinito. Ad esempio, una macchina di Turing non può capire$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\mathbb{r}} = \infty$.

Ciò dimostra che una macchina di Turing non può manipolare il concetto di infinito in tutti i casi possibili, perché una macchina di Turing non può mai sperimentare determinati numeri reali. Tuttavia, una macchina di Turing può essere in grado di manipolare il concetto di infinito in molti casi (che coinvolgono insiemi numerabili ), quindi una macchina di Turing può avere una comprensione parziale del concetto di infinito, a condizione che la comprensione sia equivalente alla manipolazione di simboli.

I computer non capiscono "infinito" o addirittura "zero", proprio come un cacciavite non capisce le viti. È uno strumento creato per l'elaborazione di segnali binari.

In effetti, l'equivalente di un computer in wetware non è una persona ma un cervello. I cervelli non pensano, le persone lo fanno. Il cervello è solo la piattaforma con cui sono implementate le persone. È un errore un po 'comune confondere i due poiché la loro connessione tende ad essere piuttosto inseparabile.

Se desideri assegnare la comprensione, dovresti almeno passare ai programmi reali anziché ai computer. I programmi possono o meno avere rappresentazioni per zero o infinito, e possono o meno essere in grado di fare abili manipolazioni di entrambi. La maggior parte dei programmi matematici simbolici qui è in gran parte migliore di quanto qualcuno debba lavorare con la matematica come parte del proprio lavoro.

La risposta di John Doucette copre abbastanza bene i miei pensieri su questo, ma ho pensato che un esempio concreto potesse essere interessante. Lavoro su un'IA simbolica chiamata Cyc, che rappresenta i concetti come una rete di predicati logici. Spesso ci piace vantarci che Cyc "capisca" le cose perché può chiarire le relazioni logiche tra loro. Sa, ad esempio, che alla gente non piace pagare le tasse, perché pagare le tasse comporta la perdita di denaro e le persone sono generalmente contrarie. In realtà, penso che la maggior parte dei filosofi concorderebbe sul fatto che questa è una "comprensione" incompleta del mondo nella migliore delle ipotesi. Cyc potrebbe conoscere tutte le regole che descrivono le persone, le tasse e il dispiacere, ma non ha esperienza reale di nessuna di esse.

Nel caso dell'infinito, tuttavia, cosa c'è di più da capire? Direi che come concetto matematico, l'infinito non ha realtà oltre la sua descrizione logica. Se riesci ad applicare correttamente ogni regola che descrive l'infinito, hai fatto l'infinito grok. Se c'è qualcosa che un'IA come Cyc non può rappresentare, forse è la reazione emotiva che tali concetti tendono a evocare per noi. Poiché viviamo vite reali, possiamo mettere in relazione concetti astratti come l'infinito con quelli concreti come la mortalità. Forse è quella contestualizzazione emotiva che fa sembrare che ci sia qualcosa di più da "ottenere" sul concetto.

Le domande a cui i computer non possono mai rispondere - Wired (magazine)

Computers might not be able to reach infinity at all: < https://www.nature.com/articles/35023282 >, never mind actually understand it.

Computation and computers do have implications for "hard limits of systems."

(https://en.wikipedia.org/wiki/Limits_of_computation)

I would think that a computer couldn’t understand infinity primarily because the systems and parts of a system, that are driving the computer are finite themselves.

The "concept" of infinity is 1 thing to understand. I can represent it with 1 symbol (∞).

As I mentioned before, humans understand infinity because they are capable, at least, counting infinite integers, in principle.

By this definition humans do not understand infinity. Humans are not capable of counting infinite integers. They will die (run out of compute resources / power) at some time. It would probably be easier in fact to get a computer to count towards infinity than it would be to get a human to do so.

Just food for thought: how about if we try to program infinity not in theoretical, but in practical terms? Thus, if we deem something that a computer cannot calculate, given its resources as infinity, it would fulfill the purpose. Programmatically, it can be implemented as follows: if the input is less than available memory it's not infinity. Subsequently, infinity can be defined as something that returns out-of-memory error on an evaluation attempt.

Its arguable if we humans understand infinity. We just create new concept to enplace old mathematics when we meet this problem. In division by infinity machine can understand it the same way as we:

double* xd = new double;
*xd =...;
if (*xd/y<0.00...1){
int* xi = new int;
*xi = (double) (*xd);
delete xd;

If human thinks of infinity - imagines just huge number in his/her current context. So key to writing algorithm is just finding a scale that AI is currently working with. And BTW this problem must ve been solved years ago. People designing float/double must ve been conscious what they were doing. Moving exponenta sign is linear operation in double.

Well -- just to touch on the question of people and infinity -- my father has been a mathematician for 60 years. Throughout this time, he's been the kind of geek who prefers to talk and think about his subject over pretty much anything else. He loves infinity and taught me about it from a young age. I was first introduced to the calculus in 5th grade (not that it made much of an impression). He loves to teach, and at the drop of a hat, he'll launch into a lecture about any kind of math. Just ask.

In fact, I would say that there are few things he is more familiar with than infinity...my mother's face, perhaps? I wouldn't count on it. If a human can understand anything, my father understands infinity.

Humans certainly don't understand infinity. Currently computers cannot understand things that humans cannot because computers are programmed by humans. In a dystopian future that may not be the case.

Here are some thoughts about infinity. The set of natural numbers is infinate. It has also been proved that the set of prime numbers, which is a subset of the natural numbers, is also infinate. So we have an infinate set within an infinate set. It gets worse, between any 2 real numbers there is an infinate number of real numbers. Have a look at the link to Hilbert's paradox of the Grand Hotel to see how confusing infinity can get - https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel

I think the property humans have which computers do not, is some sort of parallel process that runs alongside every other thing they are thinking and tries to assign an importance weighting evaluation to everything you are doing. If you ask a computer to run the program : A = 1; DO UNTIL(A<0) a=a+1; END;

The computer will. If you ask a human, another process interjects with "I'm bored now... this is taking ages... I'm going to start a new parallel process to examine the problem, project where the answer lies and look for a faster route to the answer ... Then we discover that we are stuck in an infinite loop that will never be "solved".. and interject with an interrupt that flags the issue, kills the boring process and goes to get a cup of tea :-) Sorry if that is unhelpful.