Vorremmo fattorizzare un semiprimo . L'obiettivo di questa sfida è quella di trovare due piccoli interi e tali che può essere banalmente fattorizzata con il metodo di Fermat, consentendo in tal modo di dedurre facilmente i fattori di . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

L'obiettivo

Dato un semiprimi e un intero positivo , definiamo ed come: $N$ $k$ $x$ $y$

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

Passaggio n. 1: trova $k$

Devi prima trovare il valore più piccolo possibile di modo che sia un numero quadrato ( aka quadrato perfetto). $k$ $y$

Ciò consente di fattorizzare con una singola iterazione del metodo di fattorizzazione di Fermat . Più concretamente, questo porta immediatamente a: $kN$

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Aggiornamento: questa sequenza è ora pubblicata come A316780 )

Step # 2 - Fattorizza $k$

Devi quindi trovare i due numeri interi positivi e tali che: $u$ $v$

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

dove e sono i fattori primi di . $c$ $d$ $N$

Sommario

Il vostro compito è quello di scrivere un programma o funzione che prende come input e stampe o uscite e in qualsiasi ordine e qualsiasi formato ragionevole. $N$ $u$ $v$

Esempio

Consideriamo $N = 199163$

Passo 1

Il valore più piccolo possibile di è , che dà: $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Passo 2

La fattorizzazione corretta di è , perché: $k$ $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

Quindi, la risposta corretta sarebbe o . $[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

Regole

Non è necessario applicare rigorosamente i due passaggi sopra descritti. Sei libero di usare qualsiasi altro metodo, purché trovi i valori corretti di e . $u$ $v$
Devi supportare tutti i valori di fino alla dimensione massima nativa di un numero intero senza segno nella tua lingua. $uvN$
L'input è garantito per essere un semiprime.
Questo è code-golf, quindi vince la risposta più breve in byte.
Sono vietate le scappatoie standard.

Casi test

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Esempio di implementazione

Nello snippet di seguito, la funzione è un'implementazione non golfata che accetta come input e restituisce e . $f$ $N$ $u$ $v$

Solo a scopo illustrativo, lo snippet include anche la funzione che accetta , e come input e calcola i fattori di in . $g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Mostra snippet di codice

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Espandi frammento

code-golf number-theory primes

— Arnauld
fonte

Siamo garantiti che l'ingresso Nsarà di fatto un semiprime?

— Greg Martin,

@GregMartin Sì, lo sei.

— Arnauld,

8

Mathematica, 81 79 byte

Grazie a Martin Ender per aver salvato 2 byte!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Funzione pura che prende un semiprime come input e restituisce una coppia ordinata di numeri interi positivi. Il Forciclo implementa la procedura esatta descritta nella domanda (usando #per l'input al posto di n), con xcome definito lì, sebbene memorizziamo j = k*ninvece di kse stesso e z=Sqrt[y]invece di yse stesso. Calcoliamo anche p={x+z,x-z}all'interno del Forciclo, che finisce per salvare un byte (su come il settimo tentativo). Quindi i due fattori desiderati sono (x+z)/GCD[#,x+z]e (x-z)/GCD[#,x-z], che l'espressione concisa p/#~GCD~pcalcola direttamente come coppia ordinata.

Curiosità: vogliamo fare un ciclo fino a quando non zè un numero intero; ma dal momento che useremo Ceilinggià nel codice, salva due byte !IntegerQ@zper definire c=Ceiling(che costa quattro byte, come sanno i golfisti di Mathematica) e quindi verifica se c@z>z. Dobbiamo inizializzarci za qualcosa e che qualcosa non dovrebbe essere un numero intero in modo che il ciclo possa iniziare; fortunatamente, Eè una scelta concisa.

— Greg Martin
fonte

4

JavaScript (ES7), 86 81 byte

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Modifica: salvato 4 byte grazie a @Arnauld.

— Neil
fonte

4

Python 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 99 byte

-1 byte grazie a Neil e -3 byte grazie a ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Provalo online!

curiosità:

pviene inizializzato in .5modo tale che la condizione del loop sia vera alla prima iterazione. Si noti che è più breve per memorizzare p(come x+ sqrt(y)) che per memorizzare ciascuno di xe yseparatamente.

— drogato di matematica
fonte

x*xinvece di x**2?

— Neil,

@Neil Sì, certo. Grazie

— drogato di matematica il

1

Assioma, 131 115 byte

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

La funzione che risolverebbe la domanda è r (n) sopra. ungolf e prova

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
fonte

L'aiutante della fattorizzazione di Fermat