La sequenza Lehmer-Comtet è una sequenza tale che una (n) è il n ° derivata di f (x) = x ^x rispetto ad x come valutata al x = 1 .

Compito

Prendere un numero intero non negativo come ingresso e uscita del n esimo termine della sequenza Lehmer-Comtet.

Questo è code-golf quindi dovresti ridurre al minimo le dimensioni del file del tuo codice sorgente.

Casi test

OEIS 5727

Ecco i primi due termini in ordine (copiati dall'OEIS)

1, 1, 2, 3, 8, 10, 54, -42, 944, -5112, 47160, -419760, 4297512, -47607144, 575023344, -7500202920, 105180931200, -1578296510400, 25238664189504, -428528786243904, 7700297625889920, -146004847062359040, 2913398154375730560, -61031188196889482880

Haskell , 77 75 byte, nessun builtin di differenziazione

x@(a:b)&y@(c:d)=a*c:zipWith(+)(b&y)(x&d)
s=1:s&(1:scanl(*)1[-1,-2..])
(s!!)

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Come funziona

Rappresentiamo una funzione come elenco infinito di coefficienti della serie di Taylor circa x = 1: f ( x ) = ∑ _{n = 0} ^∞ f ^{( n )} ( x - 1) ⁿ / n ! è rappresentato da [f (1), f ′ (1), f ″ (1),…].

L' &operatore moltiplica due di queste funzioni utilizzando la regola del prodotto. Questo ci consente di definire ricorsivamente la funzione s ( x ) = x ^x in termini di se stessa usando l'equazione differenziale s (1) = 1, s ′ ( x ) = s ( x ) ⋅ (1 + ln x ), dove ln x = ∑ _{n = 1} ^∞ (−1) ^{n - 1} ( n - 1)! ( X - 1) ⁿ / n !

Mathematica, 19 byte

D[x^x,{x,#-1}]/.x->1&

-18 byte da @Non un albero

Ottava con pacchetto simbolico, 36 32 byte

syms x
@(n)subs(diff(x^x,n),x,1)

Il codice definisce una funzione anonima che genera una variabile simbolica con il risultato.

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Haskell , 57 byte

f 0=1
f n=f(n-1)-foldl(\a k->f(k-1)/(1-n/k)-a*k)0[1..n-1]

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Nessun built-in per differenziazione o algebra. Le uscite galleggiano.

Python con SymPy , 77 75 58 57 byte

1 byte salvato grazie a @notjagan

17 byte salvati grazie a @AndersKaseorg

from sympy import*
lambda n:diff('x^x','x',n).subs('x',1)

SageMath , 33 32 byte

lambda n:diff(x^x,x,n).subs(x=1)

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Python 3 , 150 byte

lambda n:0**n or sum(L(n-1,r)for r in range(n))
L=lambda n,r:0<=r<=n and(0**n or n*L(n-2,r-1)+L(~-n,r-1)+(r-~-n)*L(~-n,r)if r else n<2or-~-n*L(n-1,0))

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Complessità esponenziale del runtime. Utilizza la formula fornita nella pagina OEIS.

Python3 + mpmath 52 byte

from mpmath import*
lambda n:diff(lambda x:x**x,1,n)

-3 byte, grazie @Zachary T

Python 3 , 288 261 byte

Differenziazione senza differenziazione integrata.

p=lambda a,n:lambda v:v and p(a*n,n-1)or a
l=lambda v:v and p(1,-1)
e=lambda v:v and m(e,a(p(1,0),l))or 1
a=lambda f,g:lambda v:v and a(f(1),g(1))or f(0)+g(0)
m=lambda f,g:lambda v:v and a(m(f(1),g),m(g(1),f))or f(0)*g(0)
L=lambda n,f=e:n and L(n-1,f(1))or f(0)

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Come funziona

Ognuna delle prime cinque righe definisce le funzioni, i loro derivati ​​e i loro risultati quando valutate a 1. I loro derivati ​​sono anche funzioni.

• p è potere cioè a*x^n
• l è logaritmo cioè ln(x)
• e è esponenziale cioè exp(x)
• a è l'aggiunta cioè f(x)+g(x)
• m è la moltiplicazione cioè f(x)*g(x)

Utilizzo: ad esempio, exp(ln(x)+3x^2)sarebbe rappresentato come e(l()+p(3,2)). Let x=e(l()+p(3,2)). Per trovare il suo derivato, chiama x(1). Per trovare il risultato quando valutato a 1, chiamare x(0).

Bonus: differenziazione simbolica

Pari / GP , 34 byte

n->n!*Vec((1+x+O(x^n++))^(1+x))[n]

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